Questão 14 Mostre a comutatividade da multiplicação em
:
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas (definições usadas). O enunciado pede para mostrar que
Para trabalhar com isso, vou usar a definição usual de multiplicação e as propriedades básicas de adição construídas a partir dos axiomas de Peano:
Definição recursiva de adição (já assumida / lembrada):
onde
é o sucessor de
(isto é,
em notação habitual).
Definição recursiva de multiplicação:
Informações que vou usar / provar ao longo da resolução:
- Propriedades de adição necessárias: identidade
, a fórmula (definição) e a comutatividade (esta última vou demonstrar). - Algumas lemas auxiliares que vou provar:
e a igualdade útil , que permite “mudar” o sucessor do primeiro fator para uma soma.
Nada será presumido sem justificativa: sempre que eu usar uma propriedade, mostro como ela vem da definição usando indução.
Passo 2
Pequena lição sobre indução e sobre a comutatividade da adição (vou provar a comutatividade da adição porque vou usá-la depois).
O que é uma prova por indução: para provar uma afirmação
para todo
faz-se:
- Base: mostrar
. - Passo indutivo: assumir
e provar . Isso garante para todo .
Agora provarei que a adição é comutativa: para todos
vale
Prova por indução em
(com
fixo arbitrariamente):
-
Base (
): temos por definição. Também é verdadeiro; isto pode ser visto assim: prova por indução em do lema . Vou dar esse pequeno lema:
Lema:para todo .
Prova do lema por indução em: -
: (definição). - Suponha
. Então (pela definição ). Assim o lema vale.
Portanto, e para obtemos .
-
-
Passo indutivo: suponha
para um dado . Quero mostrar .
Pela definição da adição,Pela hipótese indutiva, então . Agora use a definição da adição na outra escrita: Portanto. Isso fecha o passo indutivo.
Assim, por indução em
, a adição é comutativa:
Passo 3
Lema:
para todo
. Vou provar por indução em
.
- Base (
): pela definição de multiplicação. - Passo indutivo: suponha
. Então pela definição com . Pelas hipóteses, , e (identidade do zero na adição). Logo .
Assim
para todo
.
Comentário didático: essa lema diz que “zero vezes qualquer coisa é zero”; foi obtido apenas usando a definição recursiva de multiplicação e as propriedades básicas da adição.
Passo 4
Lema útil: para todos
vale
Vou provar por indução em
. (Intuição: esse lema expressa que adicionar 1 ao primeiro fator corresponde a somar uma cópia do segundo fator.)
-
Base (
): pela definição de multiplicação, . Pelo lema do passo 3, . Logo . Portanto . -
Passo indutivo: suponha que
. Quero provar . Começo calculando a esquerda usando a definição de multiplicação:Pela hipótese indutiva essa éReescrevo a direita que quero obter, usando a definição de multiplicação em: Então preciso mostrarUsando associatividade/commutatividade da adição (que já estabeleci/tenho disponível) e reagrupando, isso é equivalente aAgora aplico as fórmulas da adição envolvendo sucessor:Pela comutatividade da adição, então . Assim . Isso conclui o passo indutivo.
Portanto o lema
vale para todos
.
Comentário didático: aqui usei crucialmente que a adição é comutativa e as fórmulas que relacionam sucessor com soma. Essa igualdade é a que permite trocar o sucessor do primeiro fator por uma soma do segundo fator.
Passo 5
Agora a prova principal: comutatividade da multiplicação. Vou provar por indução em
a propriedade
-
Base (
): para todo , e pelo Lema do Passo 3,Assimpara todo . Logo vale. -
Passo indutivo: suponha
verdadeira, isto é, suponha que para todo vale . Quero mostrar : para todo vale . Tomo umarbitrário. Calculo por definição de multiplicação. Pela hipótese indutiva, então Pelo Lema do Passo 4 (com as variáveis trocadas), resultaPortanto. Como era arbitrário, vale.
Assim, por indução em
, temos
para todos
.
Comentário final e incentivo: resumindo, a comutatividade da multiplicação vem “de brinde” da definição recursiva da multiplicação combinada com a comutatividade da adição. A prova usa indução e dois lemas naturais (zero vezes algo é zero, e comportamentos do sucessor) — nada de pânico, é apenas organizar as definições e aplicar a indução cuidadosamente. Você consegue fazer isso na prova seguindo esses passos!