Questão 12 Prove a associatividade da multiplicação em \mathbb{N} :
a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c ; \quad \forall a, b, c \in \mathbb{N}

Passo 1

O que o exercício pede e o que temos disponível (informações relevantes).
  • O enunciado pede para provar, para todos a,b,c\in\mathbb{N}, que
a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.
  • Informação padrão que vou usar (definições recursivas, típicas em Peano):
    • A adição é definida por recursão no segundo argumento: x+0 = x,\qquad x+S(y)=S(x+y),onde S(y) é o sucessor de y (ou seja, S(y)=y+1).
    • A multiplicação é definida por recursão no segundo argumento: x\cdot 0 = 0,\qquad x\cdot S(y) = x\cdot y + x.
  • Observação: para provar a associatividade da multiplicação vou precisar de duas propriedades básicas já estabelecidas (ou que vou demonstrar aqui como lemas):
    1. associatividade da adição: (x+y)+z = x+(y+z) para todos x,y,z\in\mathbb{N};
    2. distributividade da multiplicação sobre a adição (pela esquerda): x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z para todos x,y,z\in\mathbb{N}.
  • Plano (breve, somente para orientação interna): vou primeiro garantir (mostrar) a associatividade da adição (esboço), depois provar a distributividade por indução; por fim, provar a associatividade da multiplicação por indução em c. (A partir daqui começa a resolução.)

Passo 2

Entendendo e lembrando o que é indução matemática (mini-aula).
  • Princípio de indução (forma usual): para provar que uma propriedade P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}, faz-se:
    • Base: mostrar P(0);
    • Passo indutivo: assumir P(k) e mostrar P(S(k)).
    • Conclusão: P(n) vale para todo n.
  • Vou usar indução em vários momentos. Em cada prova por indução explicarei claramente a base e o passo indutivo.

Passo 3

Lema (associatividade da adição) — enunciado e prova curta por indução.
  • Lema: para todos x,y,z\in\mathbb{N},
(x+y)+z = x+(y+z).
Prova (por indução em z):
  • Base ( z=0):
    (x+y)+0 = x+y = x+(y+0),
    pois t+0=t para qualquer t. Logo a igualdade vale para z=0.
  • Passo indutivo: suponha que (x+y)+k = x+(y+k) (hipótese indutiva). Queremos mostrar (x+y)+S(k) = x+(y+S(k)).
    • Pela definição da adição, (x+y)+S(k) = S\big((x+y)+k\big).
    • Aplicando a hipótese indutiva dentro do sucessor: S\big((x+y)+k\big) = S\big(x+(y+k)\big).
    • Novamente pela definição da adição (inversa do passo anterior), S\big(x+(y+k)\big) = x + S(y+k) = x + (y+S(k)).
    • Portanto (x+y)+S(k)=x+(y+S(k)). Isso fecha o passo indutivo.
Conclusão: por indução, (x+y)+z = x+(y+z) para todos x,y,z\in\mathbb{N}.
Comentário motivacional: esta propriedade é bem intuitiva (somar em qualquer ordem dá o mesmo resultado) e formalmente é feita com indução porque a adição foi definida recursivamente.

Passo 4

Lema (distributividade da multiplicação sobre a adição) — enunciado e prova por indução em z.
  • Lema: para todos x,y,z\in\mathbb{N},
x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z.
Prova (por indução em z):
  • Base ( z=0):
    • y+0 = y, então x\cdot(y+0) = x\cdot y.
    • Pelo definidor de multiplicação, x\cdot 0 = 0. Então x\cdot y = x\cdot y + 0 = x\cdot y + x\cdot 0.
    • Logo x\cdot(y+0)=x\cdot y + x\cdot 0. Base verificada.
  • Passo indutivo: suponha que
    x\cdot(y+k)=x\cdot y + x\cdot k
    para algum k. Queremos mostrar
    x\cdot(y+S(k)) = x\cdot y + x\cdot S(k).
    • Observe que y+S(k)=S(y+k) pela definição da adição. Então, usando a definição da multiplicação, x\cdot(y+S(k)) = x\cdot S(y+k) = x\cdot(y+k) + x.
    • Pela hipótese indutiva, x\cdot(y+k) = x\cdot y + x\cdot k. Substituindo, x\cdot(y+S(k)) = \big(x\cdot y + x\cdot k\big) + x.
    • Olhando o lado direito que queremos obter, x\cdot y + x\cdot S(k) = x\cdot y + \big(x\cdot k + x\big).
    • Agora usamos a associatividade da adição (Lema do Passo 3) para reagrupar: \big(x\cdot y + x\cdot k\big) + x = x\cdot y + \big(x\cdot k + x\big).
    • Portanto x\cdot(y+S(k)) = x\cdot y + x\cdot S(k). Isso fecha o passo indutivo.
Conclusão: por indução, x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z para todos x,y,z\in\mathbb{N}.
Breve comentário: esta propriedade formaliza a ideia de que multiplicar por x é somar x várias vezes — por isso a multiplicação “distribui” sobre a soma.

Passo 5

Começo da prova principal: prova da associatividade da multiplicação por indução em c.
  • Proposição a provar: para todos a,b,c\in\mathbb{N},
a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c.
  • Vou provar por indução em c.

Passo 6

Base da indução ( c=0).
  • Temos b\cdot 0 = 0 pela definição da multiplicação, logo o lado esquerdo é a\cdot(b\cdot 0) = a\cdot 0 = 0.
  • O lado direito é (a\cdot b)\cdot 0 = 0também pela definição de multiplicação.
  • Assim a\cdot(b\cdot 0) = 0 = (a\cdot b)\cdot 0,e a base c=0 está provada.

Passo 7

Passo indutivo: supondo que a propriedade vale para c=k, mostro que vale para c=S(k).
  • Hipótese indutiva: para fixos a,b, a\cdot(b\cdot k) = (a\cdot b)\cdot k.
  • Queremos mostrar: a\cdot\big(b\cdot S(k)\big) = (a\cdot b)\cdot S(k).
  • Começamos do lado esquerdo. Pela definição da multiplicação em b, b\cdot S(k) = b\cdot k + b.Então a\cdot\big(b\cdot S(k)\big) = a\cdot\big(b\cdot k + b\big).
  • Aplicando a distributividade (Lema do Passo 4) com x=a, y=b\cdot k, z=b obtemos a\cdot\big(b\cdot k + b\big) = a\cdot(b\cdot k) + a\cdot b.
  • Pela hipótese indutiva a\cdot(b\cdot k) = (a\cdot b)\cdot k. Substituindo, a\cdot\big(b\cdot S(k)\big) = (a\cdot b)\cdot k + a\cdot b.
  • Mas pela definição da multiplicação, o lado direito que queremos igualar é (a\cdot b)\cdot S(k) = (a\cdot b)\cdot k + (a\cdot b).
  • Portanto a\cdot\big(b\cdot S(k)\big) = (a\cdot b)\cdot S(k),e assim o passo indutivo está completo.

Passo 8

Conclusão final da prova.
  • Como a propriedade vale para c=0 e o passo indutivo foi demonstrado, pelo princípio da indução a igualdade a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot cvale para todo c\in\mathbb{N}, para quaisquer a,b\in\mathbb{N}.
  • Como a e b eram arbitrários, concluímos que a multiplicação é associativa em \mathbb{N}: para todos a,b,c\in\mathbb{N} vale a igualdade desejada.
Força aí — essa é uma prova típica em álgebra elementar formalizada com as definições recursivas: a chave foi provar primeiro a distributividade e usar indução em c.

Resposta

a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c,\qquad \forall a,b,c\in\mathbb{N}.

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