Questão 12 Prove a associatividade da multiplicação em
:
Passo 1
O que o exercício pede e o que temos disponível (informações relevantes).
- O enunciado pede para provar, para todos
, que
- Informação padrão que vou usar (definições recursivas, típicas em Peano):
- A adição é definida por recursão no segundo argumento:
onde é o sucessor de (ou seja, ). - A multiplicação é definida por recursão no segundo argumento:
- A adição é definida por recursão no segundo argumento:
- Observação: para provar a associatividade da multiplicação vou precisar de duas propriedades básicas já estabelecidas (ou que vou demonstrar aqui como lemas):
- associatividade da adição:
para todos ; - distributividade da multiplicação sobre a adição (pela esquerda):
para todos .
- associatividade da adição:
- Plano (breve, somente para orientação interna): vou primeiro garantir (mostrar) a associatividade da adição (esboço), depois provar a distributividade por indução; por fim, provar a associatividade da multiplicação por indução em
. (A partir daqui começa a resolução.)
Passo 2
Entendendo e lembrando o que é indução matemática (mini-aula).
- Princípio de indução (forma usual): para provar que uma propriedade
vale para todo , faz-se: - Base: mostrar
; - Passo indutivo: assumir
e mostrar . - Conclusão:
vale para todo .
- Base: mostrar
- Vou usar indução em vários momentos. Em cada prova por indução explicarei claramente a base e o passo indutivo.
Passo 3
Lema (associatividade da adição) — enunciado e prova curta por indução.
- Lema: para todos
,
Prova (por indução em
):
-
Base (
): poispara qualquer . Logo a igualdade vale para . -
Passo indutivo: suponha que
(hipótese indutiva). Queremos mostrar . - Pela definição da adição,
- Aplicando a hipótese indutiva dentro do sucessor:
- Novamente pela definição da adição (inversa do passo anterior),
- Portanto
. Isso fecha o passo indutivo.
- Pela definição da adição,
Conclusão: por indução,
para todos
.
Comentário motivacional: esta propriedade é bem intuitiva (somar em qualquer ordem dá o mesmo resultado) e formalmente é feita com indução porque a adição foi definida recursivamente.
Passo 4
Lema (distributividade da multiplicação sobre a adição) — enunciado e prova por indução em
.
- Lema: para todos
,
Prova (por indução em
):
-
Base (
): -
, então - Pelo definidor de multiplicação,
. Então - Logo
. Base verificada.
-
-
Passo indutivo: suponha quepara algum
. Queremos mostrar - Observe que
pela definição da adição. Então, usando a definição da multiplicação, - Pela hipótese indutiva,
. Substituindo, - Olhando o lado direito que queremos obter,
- Agora usamos a associatividade da adição (Lema do Passo 3) para reagrupar:
- Portanto
. Isso fecha o passo indutivo.
- Observe que
Conclusão: por indução,
para todos
.
Breve comentário: esta propriedade formaliza a ideia de que multiplicar por
é somar
várias vezes — por isso a multiplicação “distribui” sobre a soma.
Passo 5
Começo da prova principal: prova da associatividade da multiplicação por indução em
.
- Proposição a provar: para todos
,
- Vou provar por indução em
.
Passo 6
Base da indução (
).
- Temos
pela definição da multiplicação, logo o lado esquerdo é - O lado direito é
também pela definição de multiplicação. - Assim
e a base está provada.
Passo 7
Passo indutivo: supondo que a propriedade vale para
, mostro que vale para
.
- Hipótese indutiva: para fixos
, - Queremos mostrar:
- Começamos do lado esquerdo. Pela definição da multiplicação em
, Então - Aplicando a distributividade (Lema do Passo 4) com
, , obtemos - Pela hipótese indutiva
. Substituindo, - Mas pela definição da multiplicação, o lado direito que queremos igualar é
- Portanto
e assim o passo indutivo está completo.
Passo 8
Conclusão final da prova.
- Como a propriedade vale para
e o passo indutivo foi demonstrado, pelo princípio da indução a igualdade vale para todo , para quaisquer . - Como
e eram arbitrários, concluímos que a multiplicação é associativa em : para todos vale a igualdade desejada.
Força aí — essa é uma prova típica em álgebra elementar formalizada com as definições recursivas: a chave foi provar primeiro a distributividade e usar indução em
.