Resolva as quatro questões abaixo (use g=9,8 m / s^{2} ).
Um bloco de madeira flutua em água (densidade \rho=1000 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} ) com três quartos de seu volume V submersos e em óleo com 0,92 V submerso. Determine as densidades (a) da madeira; (b) do óleo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) a densidade da madeira;
(b) a densidade do óleo.
Dados fornecidos:
\rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á.
Na água, o bloco tem 3/4 do seu volume V submerso (ou seja, V_{\text{sub,água}} = \tfrac{3}{4}Vá).
No óleo, o bloco tem 0{,}92V submerso (ou seja, V_{\text{sub,óleo}} = 0{,}92Vó).
Use g = 9{,}8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 (valor dado — veremos que ele se cancela nas equações).
Variáveis que vamos determinar: \rho_{\text{madeira}} e \rho_{\text{óleo}}ó.

Passo 2

Conceito essencial (explicando passo a passo):
O Princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado. Em fórmulas:
\text{Empuxo} = \rho_{\text{fluido}} \, V_{\text{sub}} \, g.
O peso do bloco é a sua massa vezes g; como a massa é \rho_{\text{madeira}} V, temos:
\text{Peso do bloco} = \rho_{\text{madeira}} \, V \, g.
Quando o bloco flutua em equilíbrio, empuxo = peso:
\rho_{\text{fluido}} \, V_{\text{sub}} \, g = \rho_{\text{madeira}} \, V \, g.
Nessa igualdade podemos simplificar g e V (desde que V\neq0 e g\neq0), ficando uma relação simples entre densidades e fração submersa:
\rho_{\text{madeira}} = \rho_{\text{fluido}} \cdot \frac{V_{\text{sub}}}{V}.
Isso é intuitivo: a fração do volume submerso é igual à razão entre a densidade do corpo e a do fluido.

Passo 3

Aplicando a relação ao caso da água:
a fração submersa é \tfrac{3}{4}. Usando a fórmula do passo anterior:
\rho_{\text{madeira}} = \rho_{\text{água}} \cdot \frac{3}{4}.á
Substituindo \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á:
\rho_{\text{madeira}} = 1000 \cdot \frac{3}{4} = 1000 \cdot 0{,}75.
Agora calculamos:
\rho_{\text{madeira}} = 750\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Interpretação rápida: a madeira é menos densa que a água, por isso flutua; a fração submersa = \rho_{\text{madeira}}/\rho_{\text{água}} = 0{,}75á.

Passo 4

Agora usamos o equilíbrio no óleo para encontrar \rho_{\text{óleo}}ó. A equação de equilíbrio é
\rho_{\text{óleo}} \cdot (0{,}92V) \, g = \rho_{\text{madeira}} \cdot V \, g.ó
Cancelando V e g:
\rho_{\text{óleo}} \cdot 0{,}92 = \rho_{\text{madeira}}.ó
Logo,
\rho_{\text{óleo}} = \frac{\rho_{\text{madeira}}}{0{,}92}.ó
Substituindo \rho_{\text{madeira}} = 750\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3:
\rho_{\text{óleo}} = \frac{750}{0{,}92}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.ó
Fazendo a divisão com cuidado:
\rho_{\text{óleo}} \approx 815{,}2173913\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.ó
Arredondando de modo prático (por exemplo, com uma casa decimal):
\rho_{\text{óleo}} \approx 815{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.ó

Passo 5

Resumo físico e checagem rápida:
  • \rho_{\text{madeira}} = 750\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 é menor que \rho_{\text{óleo}}ó e que \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á.
  • Em água (mais densa), o bloco precisa submergir menos ( 75\%) para deslocar massa de água igual ao seu peso.
  • Em óleo (densidade intermediária), precisa submergir mais ( 92\%) para deslocar massa suficiente. Tudo consistente — encouraje-se: você chegou às relações essenciais e checou a coerência numérica!

Resposta

(a) 750\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
(b) 815{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3

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