Resolva as quatro questões abaixo (use
).
Um bloco de madeira flutua em água (densidade
) com três quartos de seu volume
submersos e em óleo com
submerso. Determine as densidades (a) da madeira; (b) do óleo.
Um bloco de madeira flutua em água (densidade
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) a densidade da madeira;
(b) a densidade do óleo.
(a) a densidade da madeira;
(b) a densidade do óleo.
Dados fornecidos:
.
Na água, o bloco tem do seu volume
submerso (ou seja,
).
No óleo, o bloco tem submerso (ou seja,
).
Use (valor dado — veremos que ele se cancela nas equações).
Variáveis que vamos determinar: e
.
Na água, o bloco tem
No óleo, o bloco tem
Use
Variáveis que vamos determinar:
Passo 2
Conceito essencial (explicando passo a passo):
O Princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado. Em fórmulas:
O Princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado. Em fórmulas:
O peso do bloco é a sua massa vezes
; como a massa é
, temos:
Quando o bloco flutua em equilíbrio, empuxo = peso:
Nessa igualdade podemos simplificar
e
(desde que
e
), ficando uma relação simples entre densidades e fração submersa:
Isso é intuitivo: a fração do volume submerso é igual à razão entre a densidade do corpo e a do fluido.
Passo 3
Aplicando a relação ao caso da água:
a fração submersa é . Usando a fórmula do passo anterior:
a fração submersa é
Substituindo
:
Agora calculamos:
Interpretação rápida: a madeira é menos densa que a água, por isso flutua; a fração submersa
.
Passo 4
Agora usamos o equilíbrio no óleo para encontrar
. A equação de equilíbrio é
Cancelando
e
:
Logo,
Substituindo
:
Fazendo a divisão com cuidado:
Arredondando de modo prático (por exemplo, com uma casa decimal):
Passo 5
Resumo físico e checagem rápida:
-
é menor que e que . - Em água (mais densa), o bloco precisa submergir menos (
) para deslocar massa de água igual ao seu peso. - Em óleo (densidade intermediária), precisa submergir mais (
) para deslocar massa suficiente. Tudo consistente — encouraje-se: você chegou às relações essenciais e checou a coerência numérica!
Resposta
(a)
(b)
(b)