A partir do sistema de equações diferenciais em
e
, obtenha uma equação diferencial de ordem superior apenas em
(não tente resolvê-la!):
3)
3)
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas equações envolvendo
O que se pede: obter uma equação diferencial apenas em (y_{II}] (não resolver a equação, só eliminá-la).]
Passo 2
Ideia geral (explicada passo a passo): para eliminar
usaremos diferenciação e substituição. Podemos derivar a segunda equação para criar relações entre derivadas de
e derivadas de
, e então substituir essas expressões na primeira equação até sobrar somente derivadas de
. Vou fazer isso devagarinho para não pular etapa.
Passo 3
Derivamos a segunda equação uma vez em relação à variável independente (vamos entender que todas as derivadas são em relação a
). Derivando
obtemos
Desse resultado isolamos
:
Passo 4
Agora usamos a primeira equação, que é
Substituímos nela a expressão que acabamos de obter para
. Ou seja, substituindo
na primeira equação:
Reorganizando, obtemos uma fórmula para
em termos de derivadas de
:
Passo 5
Queremos eliminar totalmente
, então agora derivamos a expressão obtida para
para obter
e voltamos a derivar para obter
em termos de derivadas de
. Derivando uma vez:
Derivando novamente:
Passo 6
Já tínhamos, da Passo 3, uma outra expressão para
vinda diretamente da diferenciação da segunda equação:
Mas na Passo 4 obtivemos explicitamente
. Substituindo essa
na expressão acima daria novamente uma expressão para
; entretanto, já temos uma expressão direta da Passo 5:
Também a primeira equação do sistema nos dá diretamente
Agora igualamos as duas expressões para
:
Simplificando ambos os lados (somando
em ambos os lados) temos
Passo 7
Concluímos que a equação diferencial de ordem superior que envolve apenas
e que é consequência do sistema dado é