A partir do sistema de equações diferenciais em y_{I} e y_{I I}, obtenha uma equação diferencial de ordem superior apenas em y_{I I} (não tente resolvê-la!):
3) \left\{\begin{array}{l}y_{I}^{\prime \prime \prime}+y_{I I}^{(4)}=0 \\\ y_{I}^{\prime \prime}+y_{I}+y_{I I}^{\prime}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas equações envolvendo y_{I}\) e \(y_{II}\) e pede que a gente elimine \(y_{I}\) para obter uma única equação diferencial de ordem superior envolvendo apenas \(y_{II}\). As informações dadas são: \[\begin{cases} y_{I}^{(3)}+y_{II}^{(4)}=0,\\[4pt] y_{I}''+y_{I}+y_{II}'=0. \end{cases}
O que se pede: obter uma equação diferencial apenas em (y_{II}] (não resolver a equação, só eliminá-la).]

Passo 2

Ideia geral (explicada passo a passo): para eliminar y_{I} usaremos diferenciação e substituição. Podemos derivar a segunda equação para criar relações entre derivadas de y_{I} e derivadas de y_{II}, e então substituir essas expressões na primeira equação até sobrar somente derivadas de y_{II}. Vou fazer isso devagarinho para não pular etapa.

Passo 3

Derivamos a segunda equação uma vez em relação à variável independente (vamos entender que todas as derivadas são em relação a x). Derivando
y_{I}''+y_{I}+y_{II}'=0
obtemos
y_{I}^{(3)}+y_{I}'+y_{II}''=0.
Desse resultado isolamos y_{I}^{(3)}:
y_{I}^{(3)}=-\,y_{I}'-y_{II}''.

Passo 4

Agora usamos a primeira equação, que é
y_{I}^{(3)}+y_{II}^{(4)}=0.
Substituímos nela a expressão que acabamos de obter para y_{I}^{(3)}. Ou seja, substituindo y_{I}^{(3)}=-y_{I}'-y_{II}'' na primeira equação:
(-y_{I}'-y_{II}'')+y_{II}^{(4)}=0.
Reorganizando, obtemos uma fórmula para y_{I}' em termos de derivadas de y_{II}:
y_{I}'=y_{II}^{(4)}-y_{II}''.

Passo 5

Queremos eliminar totalmente y_{I}, então agora derivamos a expressão obtida para y_{I}' para obter y_{I}'' e voltamos a derivar para obter y_{I}^{(3)} em termos de derivadas de y_{II}. Derivando uma vez:
y_{I}''=y_{II}^{(5)}-y_{II}^{(3)}.
Derivando novamente:
y_{I}^{(3)}=y_{II}^{(6)}-y_{II}^{(4)}.

Passo 6

Já tínhamos, da Passo 3, uma outra expressão para y_{I}^{(3)} vinda diretamente da diferenciação da segunda equação:
y_{I}^{(3)}=-y_{I}'-y_{II}''.
Mas na Passo 4 obtivemos explicitamente y_{I}'=y_{II}^{(4)}-y_{II}''. Substituindo essa y_{I}' na expressão acima daria novamente uma expressão para y_{I}^{(3)}; entretanto, já temos uma expressão direta da Passo 5:
y_{I}^{(3)}=y_{II}^{(6)}-y_{II}^{(4)}.
Também a primeira equação do sistema nos dá diretamente
y_{I}^{(3)}=-y_{II}^{(4)}.
Agora igualamos as duas expressões para y_{I}^{(3)}:
y_{II}^{(6)}-y_{II}^{(4)}=-y_{II}^{(4)}.
Simplificando ambos os lados (somando y_{II}^{(4)} em ambos os lados) temos
y_{II}^{(6)}=0.

Passo 7

Concluímos que a equação diferencial de ordem superior que envolve apenas y_{II} e que é consequência do sistema dado é
y_{II}^{(6)}=0.

Resposta

y_{II}^{(6)}=0

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