Questão 14. Uma partícula de massa \mathbf{m}, movendo-se livremente com velocidade de módulo \mathbf{v}, entra em uma região do espaço em um ponto A . A partir daí, durante um intervalo de tempo \Delta t=1 \mathrm{~s}, passa a atuar sobre ela uma força \vec{F} constante. No momento em que essa força deixa de agir, a partícula passa a se mover com velocidade 2 v em uma direção perpendicular à inicial. Calcule o intervalo de tempo necessário (em segundos) para que a mesma força realize sobre a partícula o dobro do trabalho (a partir do ponto A ). Despreze a influência de outras forças.
\begin{array}{ll} \text { A ( ) } \frac{\sqrt{31}+1}{5} & \text { B ( ) } \frac{\sqrt{26}-1}{6} \\\ \text { C ( ) } \frac{\sqrt{19}+2}{7} & \text { D ( ) } \frac{\sqrt{41}-3}{2} \\\ \text { E ( ) } \frac{\sqrt{34}-2}{3} & \end{array}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do texto da questão):
  • Uma partícula de massa \,m\, entra em A com velocidade de módulo \,v\,.
  • A partir de A, durante um intervalo \Delta t=1\\ \text{s}, atua sobre ela uma força constante \vec{F}.
  • Quando a força para de agir (após 1\\ \text{s}), a partícula tem velocidade de módulo 2v e essa nova velocidade é perpendicular à inicial.
  • Não existem outras forças (desprezar atrito, peso, etc.).
O que a questão pede:
  • Determinar o intervalo de tempo t (em segundos), medido a partir do ponto A com a mesma força constante \vec{F} agindo, para que essa força realize o dobro do trabalho que realizou no primeiro intervalo de 1\\ \text{s}.

Passo 2

Vamos usar uma ideia central da física mecânica: o teorema trabalho-energia. Ele afirma que o trabalho total realizado por forças sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula.
Explicando com calma:
  • A energia cinética de uma partícula de massa \,m\, e velocidade de módulo u é \displaystyle K=\tfrac{1}{2}m u^{2}.
  • Se uma força realiza trabalho W sobre a partícula, então
W=\Delta K=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}m u_{\text{f}}^{2}-\tfrac{1}{2}m u_{\text{i}}^{2}.
Aplicaremos isso ao primeiro intervalo de 1\\ \text{s} para achar o trabalho inicial W_{1}.

Passo 3

Calcular o trabalho realizado em \Delta t=1\\ \text{s}.
  • Energia cinética inicial:
K_{i}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Energia cinética após 1\\ \text{s} (velocidade de módulo 2v):
K_{1}=\tfrac{1}{2}m(2v)^{2}=\tfrac{1}{2}m\cdot 4v^{2}=2m v^{2}.
  • Trabalho realizado em 1\\ \text{s}:
W_{1}=K_{1}-K_{i}=2m v^{2}-\tfrac{1}{2}m v^{2}=\tfrac{3}{2}m v^{2}.

Passo 4

Determinar a aceleração (ou \vec{F}/m) imposta pela força constante, usando a relação entre variação de velocidade e aceleração constante.
Como a força é constante, a aceleração é constante e vale \vec{a}=\vec{F}/m. A variação de velocidade em 1\\ \text{s} é
\vec{v}_{1}-\vec{v}_{0}=\vec{a}\,\Delta t=\vec{a}\cdot 1=\vec{a}.
Escolhemos um sistema de coordenadas conveniente: suponha a velocidade inicial ao longo de x, \vec{v}_{0}=v\hat{\imath}, e a velocidade após 1\\ \text{s} ao longo de y, \vec{v}_{1}=2v\hat{\jmath} (isto respeita que são perpendiculares e têm os módulos dados). Então
\vec{a}=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{0}=2v\hat{\jmath}-v\hat{\imath}=-v\hat{\imath}+2v\hat{\jmath}.

Passo 5

Expressar a velocidade em um tempo genérico t (a partir de A) sob essa aceleração constante e obter seu módulo ao quadrado.
Velocidade em função do tempo:
\vec{v}(t)=\vec{v}_{0}+\vec{a}\,t = v\hat{\imath}+t(-v\hat{\imath}+2v\hat{\jmath})=v(1-t)\hat{\imath}+2v t\hat{\jmath}.
O quadrado do módulo da velocidade é
\|\vec{v}(t)\|^{2}=v^{2}\big((1-t)^{2}+(2t)^{2}\big)=v^{2}\big(1-2t+5t^{2}\big).

Passo 6

Impor que o trabalho até o tempo t seja o dobro de W_{1} e traduzir isso em equação para t.
  • O trabalho até t é a variação da energia cinética entre 0 e t:
W(t)=\tfrac{1}{2}m\|\vec{v}(t)\|^{2}-\tfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Queremos W(t)=2W_{1}=2\cdot \tfrac{3}{2}m v^{2}=3m v^{2}.
Logo
\tfrac{1}{2}m\|\vec{v}(t)\|^{2}-\tfrac{1}{2}m v^{2}=3m v^{2}.
Dividindo por m e multiplicando por 2:
\|\vec{v}(t)\|^{2}-v^{2}=6v^{2}\quad\Rightarrow\quad \|\vec{v}(t)\|^{2}=7v^{2}.
Usando a expressão do passo anterior:
v^{2}\big(1-2t+5t^{2}\big)=7v^{2}.
Dividindo por v^{2}:
1-2t+5t^{2}=7.
Reorganizando:
5t^{2}-2t-6=0.

Passo 7

Resolver a equação quadrática para t.
A equação é \,5t^{2}-2t-6=0. O discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot 5\cdot(-6)=4+120=124=4\cdot 31.
Portanto
t=\frac{2\pm\sqrt{124}}{2\cdot 5}=\frac{2\pm 2\sqrt{31}}{10}=\frac{1\pm\sqrt{31}}{5}.
Das duas raízes, apenas a positiva faz sentido físico (tempo positivo). Assim
t=\frac{1+\sqrt{31}}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{31}+1}{5}

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