Questão 14. Uma partícula de massa
, movendo-se livremente com velocidade de módulo
, entra em uma região do espaço em um ponto A . A partir daí, durante um intervalo de tempo
, passa a atuar sobre ela uma força
constante. No momento em que essa força deixa de agir, a partícula passa a se mover com velocidade 2 v em uma direção perpendicular à inicial. Calcule o intervalo de tempo necessário (em segundos) para que a mesma força realize sobre a partícula o dobro do trabalho (a partir do ponto A ). Despreze a influência de outras forças.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do texto da questão):
- Uma partícula de massa
entra em com velocidade de módulo . - A partir de
, durante um intervalo , atua sobre ela uma força constante . - Quando a força para de agir (após
), a partícula tem velocidade de módulo e essa nova velocidade é perpendicular à inicial. - Não existem outras forças (desprezar atrito, peso, etc.).
O que a questão pede:
- Determinar o intervalo de tempo
(em segundos), medido a partir do ponto com a mesma força constante agindo, para que essa força realize o dobro do trabalho que realizou no primeiro intervalo de .
Passo 2
Vamos usar uma ideia central da física mecânica: o teorema trabalho-energia. Ele afirma que o trabalho total realizado por forças sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula.
Explicando com calma:
- A energia cinética de uma partícula de massa
e velocidade de módulo é . - Se uma força realiza trabalho
sobre a partícula, então
Aplicaremos isso ao primeiro intervalo de
para achar o trabalho inicial
.
Passo 3
Calcular o trabalho realizado em
.
- Energia cinética inicial:
- Energia cinética após
(velocidade de módulo ):
- Trabalho realizado em
:
Passo 4
Determinar a aceleração (ou
) imposta pela força constante, usando a relação entre variação de velocidade e aceleração constante.
Como a força é constante, a aceleração é constante e vale
. A variação de velocidade em
é
Escolhemos um sistema de coordenadas conveniente: suponha a velocidade inicial ao longo de
,
, e a velocidade após
ao longo de
,
(isto respeita que são perpendiculares e têm os módulos dados). Então
Passo 5
Expressar a velocidade em um tempo genérico
(a partir de
) sob essa aceleração constante e obter seu módulo ao quadrado.
Velocidade em função do tempo:
O quadrado do módulo da velocidade é
Passo 6
Impor que o trabalho até o tempo
seja o dobro de
e traduzir isso em equação para
.
- O trabalho até
é a variação da energia cinética entre e :
- Queremos
.
Logo
Dividindo por
e multiplicando por
:
Usando a expressão do passo anterior:
Dividindo por
:
Reorganizando:
Passo 7
Resolver a equação quadrática para
.
A equação é
. O discriminante é
Portanto
Das duas raízes, apenas a positiva faz sentido físico (tempo positivo). Assim