Questão 17. Uma lente biconvexa de vidro ( n=1,5 ) é utilizada totalmente submersa em água ( n=4 / 3 ). Determine a variação de sua potência em relação à que ela tinha no ar (n=1).
A ( ) Aumenta em 25%
B ( ) Aumenta em 50%
C ( ) Aumenta em 75%
D ( ) Diminui em 50%
E ( ) Diminui em 75 \%

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede:
  • Lente biconvexa totalmente submersa em água.
  • Índice de refração do vidro da lente: n_{\ell}=1{,}5.
  • Índice de refração da água: n_{\text{água}}=\tfrac{4}{3}=1{,}333\ldotsá.
  • Índice de refração do ar (condição inicial): n_{\text{ar}}=1.
  • O que se pede: determinar a variação da potência da lente quando ela passa do ar para a água, comparando com a potência que ela tinha no ar. As alternativas são (A) aumenta em 25\%, (B) aumenta em 50\%, (C) aumenta em 75\%, (D) diminui em 50\%, (E) diminui em 75\%.

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicando o que cada coisa significa):
  • Para uma lente fina imersa em um meio de índice n_{\text{med}}, a chamada fórmula do fabricante (lensmaker) generalizada dá a inversa da distância focal (ou seja, a potência P) como
\frac{1}{f}=P=\left(\frac{n_{\ell}}{n_{\text{med}}}-1\right)\!\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right),
onde:
  • f é a distância focal (em metros);
  • P é a potência da lente (em dioptrias, 1/\text{m});
  • n_{\ell} é o índice de refração do material da lente;
  • n_{\text{med}} é o índice de refração do meio ao redor da lente;
  • R_1 e R_2 são os raios de curvatura das duas superfícies da lente, seguindo a convenção de sinais (positivo se o centro de curvatura está à direita da superfície considerada).
    Essa fórmula vem da combinação das fórmulas de refração em duas superfícies esféricas, assumindo lente fina (espessura desprezível) — o ponto importante aqui é que a potência é proporcional ao contraste relativo \dfrac{n_{\ell}}{n_{\text{med}}}-1: quanto mais próximo n_{\ell} estiver de n_{\text{med}}, menor a potência.

Passo 3

Aplicação ao caso de lente biconvexa simétrica:
  • Para uma lente biconvexa simétrica podemos tomar R_1=R e R_2=-R (convexidade oposta), então
\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}=\frac{1}{R}-\left(-\frac{1}{R}\right)=\frac{2}{R}.
  • Assim a potência geral fica
P=\left(\frac{n_{\ell}}{n_{\text{med}}}-1\right)\frac{2}{R}.
  • Em particular, no ar ( n_{\text{med}}=1) a potência é
P_{\text{ar}}=\left(n_{\ell}-1\right)\frac{2}{R}.
  • Quando a lente está na água ( n_{\text{med}}=n_{\text{água}}á) a potência é
P_{\text{água}}=\left(\frac{n_{\ell}}{n_{\text{água}}}-1\right)\frac{2}{R}.áá
  • Note que o fator geométrico \dfrac{2}{R} é o mesmo nos dois casos, então ao comparar as potências ele se cancela.

Passo 4

Calcular a razão entre as potências (isso elimina a dependência de R e dá uma resposta genérica):
\frac{P_{\text{água}}}{P_{\text{ar}}} = \frac{\dfrac{n_{\ell}}{n_{\text{água}}}-1}{n_{\ell}-1}.áá
Agora substituímos os valores numéricos (tudo em TeX):
n_{\ell}=1{,}5,\qquad n_{\text{água}}=\tfrac{4}{3}=1{,}333\ldotsá
Calculemos passo a passo o numerador:
\frac{n_{\ell}}{n_{\text{água}}}=\frac{1{,}5}{\tfrac{4}{3}}=1{,}5\cdot\frac{3}{4}=\frac{4{,}5}{4}=1{,}125,á
portanto
\frac{n_{\ell}}{n_{\text{água}}}-1=1{,}125-1=0{,}125.á
O denominador é
n_{\ell}-1=1{,}5-1=0{,}5.
Logo a razão vale
\frac{P_{\text{água}}}{P_{\text{ar}}}=\frac{0{,}125}{0{,}5}=0{,}25.á

Passo 5

Interpretação do resultado (como usar isso na hora da prova):
  • Encontramos que P_{\text{água}}=0{,}25\,P_{\text{ar}}á. Ou seja, a potência da lente quando submersa na água passa a ser 25\% da potência que tinha no ar.
  • Em termos de variação percentual isso significa que a potência diminuiu em 100\%-25\%=75\%.
  • Intuitivamente: ao colocar a lente num meio de índice mais alto a diferença de índices (contraste óptico) cai, e por isso a capacidade da lente de desviar (convergir) os raios diminui — se o meio tivesse o mesmo índice do vidro, a lente não teria potência alguma.

Resposta

E ( ) Diminui em 75\%

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