Questão 3. Seja A uma matriz quadrada.
a) Mostre que a matriz S=A+A^{T} é uma matriz simétrica;
b) Mostre que a matriz R=A-A^{T} é uma matriz anti-simétrica;
c) Mostre que toda matriz pode ser decomposta como uma soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica;
d) Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right]. Encontre duas matizes B e C, tais que, B é uma matriz simétrica, C é uma matriz anti-simétrica e A=B+C.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
Dado: A é uma matriz quadrada (ou seja, tem o mesmo número de linhas e colunas).
Perguntas:
(a) Mostrar que S=A+A^{T} é uma matriz simétrica.
(b) Mostrar que R=A-A^{T} é uma matriz anti-simétrica (ou seja, antissimétrica).
(c) Mostrar que toda matriz A pode ser decomposta como soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica.
(d) Para A=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right], encontrar matrizes B (simétrica) e C (anti-simétrica) tais que A=B+C.
As informações relevantes: A é quadrada; no item (d) a matriz específica é
A=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}.]
Passo 2
Antes de começar a prova, vou lembrar definições e propriedades essenciais (passo a passo, tipo revisão que vale ouro na prova).
Transposta: para qualquer matriz M, a transposta M^{T} é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de entradas, se M=(m_{ij}) então M^{T}=(m_{ji}).
Propriedades básicas da transposta que usaremos (são regras algébricas simples e muito úteis):
(X+Y)^{T}=X^{T}+Y^{T} para quaisquer matrizes X,Y do mesmo tamanho.
(cX)^{T}=cX^{T} para escalar c.
(X^{T})^{T}=X (a transposta da transposta volta à matriz original).
Definições:
Uma matriz M é simétrica se M^{T}=M. Em termos de entradas: m_{ij}=m_{ji} para todos i,j.
Uma matriz N é anti-simétrica (ou skewsymmetric) se N^{T}=-N. Em termos de entradas: n_{ij}=-n_{ji} para todos i,j. Em particular, as entradas da diagonal satisfazem n_{ii}= -n_{ii}, logo n_{ii}=0.
Passo 3
Prova do item (a): mostrar que S=A+A^{T} é simétrica.
Considere S=A+A^{T}.
Calcule a transposta de S usando a propriedade de transposta da soma:
S^{T}=(A+A^{T})^{T}=A^{T}+(A^{T})^{T}.
Aplicando (A^{T})^{T}=A, obtemos
S^{T}=A^{T}+A.
Como a soma é comutativa A^{T}+A = A + A^{T}, conclui-se que
S^{T}=A+A^{T}=S.
Portanto S satisfaz a definição de matriz simétrica (S^{T}=S). Fim da prova do item (a).
Passo 4
Prova do item (b): mostrar que R=A-A^{T} é anti-simétrica.
Considere R=A-A^{T}.
Calcule a transposta de R:
R^{T}=(A-A^{T})^{T}=A^{T}-(A^{T})^{T}.
Usando (A^{T})^{T}=A, isso dá
R^{T}=A^{T}-A.
Factorizando um sinal, A^{T}-A = -(A-A^{T}). Logo
R^{T}=-(A-A^{T})=-R.
Isso é exatamente a definição de matriz anti-simétrica (R^{T}=-R). Além disso, observe que as entradas da diagonal de R são zero, pois r_{ii}=a_{ii}-a_{ii}=0. Fim da prova do item (b).
Passo 5
Prova do item (c): decomposição de qualquer matriz A em uma soma simétrica + anti-simétrica.
Já demonstrámos no item (a) que A+A^{T} é simétrica; multiplicar por 1/2 preserva essa propriedade, então B é simétrica: B^{T}=B.
Já demonstrámos no item (b) que A-A^{T} é anti-simétrica; multiplicar por 1/2 preserva essa propriedade, então C é anti-simétrica: C^{T}=-C.
Assim qualquer matriz A é soma A=B+C com B simétrica e C anti-simétrica, como queríamos.
(Observação útil — não pedida, mas boa para prova): essa decomposição é única. Se A=B_{1}+C_{1} com B_{1}^{T}=B_{1} e C_{1}^{T}=-C_{1}, então somando e subtraindo a equação com sua transposta obtém-se B_{1}=(A+A^{T})/2 e C_{1}=(A-A^{T})/2. Portanto não há outra forma.
Passo 6
Item (d): cálculo explícito para A=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}.