Questão 3. Seja A uma matriz quadrada.
a) Mostre que a matriz S=A+A^{T} é uma matriz simétrica;
b) Mostre que a matriz R=A-A^{T} é uma matriz anti-simétrica;
c) Mostre que toda matriz pode ser decomposta como uma soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica;
d) Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right]. Encontre duas matizes B e C, tais que, B é uma matriz simétrica, C é uma matriz anti-simétrica e A=B+C.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado: A é uma matriz quadrada (ou seja, tem o mesmo número de linhas e colunas).
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que S=A+A^{T} é uma matriz simétrica.
    (b) Mostrar que R=A-A^{T} é uma matriz anti-simétrica (ou seja, antissimétrica).
    (c) Mostrar que toda matriz A pode ser decomposta como soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica.
    (d) Para A=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right], encontrar matrizes B (simétrica) e C (anti-simétrica) tais que A=B+C.
As informações relevantes: A é quadrada; no item (d) a matriz específica é
A=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 2

Antes de começar a prova, vou lembrar definições e propriedades essenciais (passo a passo, tipo revisão que vale ouro na prova).
  • Transposta: para qualquer matriz M, a transposta M^{T} é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de entradas, se M=(m_{ij}) então M^{T}=(m_{ji}).
  • Propriedades básicas da transposta que usaremos (são regras algébricas simples e muito úteis):
    1. (X+Y)^{T}=X^{T}+Y^{T} para quaisquer matrizes X,Y do mesmo tamanho.
    2. (cX)^{T}=cX^{T} para escalar c.
    3. (X^{T})^{T}=X (a transposta da transposta volta à matriz original).
  • Definições:
    • Uma matriz M é simétrica se M^{T}=M. Em termos de entradas: m_{ij}=m_{ji} para todos i,j.
    • Uma matriz N é anti-simétrica (ou skewsymmetric) se N^{T}=-N. Em termos de entradas: n_{ij}=-n_{ji} para todos i,j. Em particular, as entradas da diagonal satisfazem n_{ii}= -n_{ii}, logo n_{ii}=0.

Passo 3

Prova do item (a): mostrar que S=A+A^{T} é simétrica.
  • Considere S=A+A^{T}.
  • Calcule a transposta de S usando a propriedade de transposta da soma:
S^{T}=(A+A^{T})^{T}=A^{T}+(A^{T})^{T}.
  • Aplicando (A^{T})^{T}=A, obtemos
S^{T}=A^{T}+A.
  • Como a soma é comutativa A^{T}+A = A + A^{T}, conclui-se que
S^{T}=A+A^{T}=S.
  • Portanto S satisfaz a definição de matriz simétrica ( S^{T}=S). Fim da prova do item (a).

Passo 4

Prova do item (b): mostrar que R=A-A^{T} é anti-simétrica.
  • Considere R=A-A^{T}.
  • Calcule a transposta de R:
R^{T}=(A-A^{T})^{T}=A^{T}-(A^{T})^{T}.
  • Usando (A^{T})^{T}=A, isso dá
R^{T}=A^{T}-A.
  • Factorizando um sinal, A^{T}-A = -(A-A^{T}). Logo
R^{T}=-(A-A^{T})=-R.
  • Isso é exatamente a definição de matriz anti-simétrica ( R^{T}=-R). Além disso, observe que as entradas da diagonal de R são zero, pois r_{ii}=a_{ii}-a_{ii}=0. Fim da prova do item (b).

Passo 5

Prova do item (c): decomposição de qualquer matriz A em uma soma simétrica + anti-simétrica.
  • A ideia padrão (e prática na prova) é escrever
A=\frac{1}{2}\bigl(A+A^{T}\bigr)+\frac{1}{2}\bigl(A-A^{T}\bigr).
  • Verificação direta (soma lado a lado):
\frac{1}{2}\bigl(A+A^{T}\bigr)+\frac{1}{2}\bigl(A-A^{T}\bigr) =\frac{1}{2}\bigl((A+A^{T})+(A-A^{T})\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(2A\bigr)=A.
  • Defina
B=\frac{1}{2}\bigl(A+A^{T}\bigr),\qquad C=\frac{1}{2}\bigl(A-A^{T}\bigr).
  • Já demonstrámos no item (a) que A+A^{T} é simétrica; multiplicar por 1/2 preserva essa propriedade, então B é simétrica: B^{T}=B.
  • Já demonstrámos no item (b) que A-A^{T} é anti-simétrica; multiplicar por 1/2 preserva essa propriedade, então C é anti-simétrica: C^{T}=-C.
  • Assim qualquer matriz A é soma A=B+C com B simétrica e C anti-simétrica, como queríamos.
  • (Observação útil — não pedida, mas boa para prova): essa decomposição é única. Se A=B_{1}+C_{1} com B_{1}^{T}=B_{1} e C_{1}^{T}=-C_{1}, então somando e subtraindo a equação com sua transposta obtém-se B_{1}=(A+A^{T})/2 e C_{1}=(A-A^{T})/2. Portanto não há outra forma.

Passo 6

Item (d): cálculo explícito para A=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}.
  • Primeiro calcule a transposta de A:
A^{T}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}.
  • Use as fórmulas do passo anterior:
B=\frac{1}{2}\bigl(A+A^{T}\bigr), \qquad C=\frac{1}{2}\bigl(A-A^{T}\bigr).
  • Calcule A+A^{T}:
A+A^{T}=\begin{pmatrix}2+2 & 2+1\\[4pt]1+2 & 4+4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]3 & 8\end{pmatrix}.
  • Dividindo por 2 obtemos
B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]3 & 8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & \tfrac{3}{2}\\[6pt]\tfrac{3}{2} & 4\end{pmatrix}.
  • Agora calcule A-A^{T}:
A-A^{T}=\begin{pmatrix}2-2 & 2-1\\[4pt]1-2 & 4-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.
  • Dividindo por 2 obtemos
C=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{2}\\[6pt]-\tfrac{1}{2} & 0\end{pmatrix}.
  • Verificações rápidas (que sempre convém fazer na prova):
    • B^{T}=\begin{pmatrix}2 & \tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{2} & 4\end{pmatrix}=B, então B é simétrica.
    • C^{T}=\begin{pmatrix}0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & 0\end{pmatrix}=-C, então C é anti-simétrica.
    • Soma B+C:
    B+C=\begin{pmatrix}2 & \tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{2} & 4\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2} & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}=A.Tudo confere.]

Resposta

(a) S=A+A^{T} é simétrica, pois S^{T}=S.\n
(b) R=A-A^{T} é anti-simétrica, pois R^{T}=-R.\n
(c) Toda matriz A pode ser escrita como
A=\frac{1}{2}\bigl(A+A^{T}\bigr)+\frac{1}{2}\bigl(A-A^{T}\bigr),
onde a primeira parcela é simétrica e a segunda é anti-simétrica.\n
(d) Para A=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}2 & \tfrac{3}{2}\\[6pt]\tfrac{3}{2} & 4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{2}\\[6pt]-\tfrac{1}{2} & 0\end{pmatrix},
e A=B+C.]

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