Sejam
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{c}-1 \\\ 2 \\\ 4\end{array}\right] \quad \text { e } \quad D=\left[\begin{array}{ll}1 & -1\end{array}\right] .
Calcule
D \cdot A

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (copiadas do enunciado):
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\[4pt]2 & 1 & -1\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\[4pt]3 & 0 & 1\end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{c}-1 \\[4pt]2 \\[4pt]4\end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{ll}1 & -1\end{array}\right].
O que o problema pede: calcular D\cdot A.
Informações relevantes dadas:
  • A é uma matriz de ordem 2\times 3 (duas linhas e três colunas).
  • D é uma matriz de ordem 1\times 2 (uma linha e duas colunas).
  • A multiplicação D\cdot A é pedida.]

Passo 2

Relembrando a definição e condição de existência da multiplicação de matrizes (aula rápida e prática):
  • Para multiplicar uma matriz X de ordem m\times n por uma matriz Y de ordem p\times q é necessário que n=p. O produto XY então existe e terá ordem m\times q.
  • Cada elemento (XY)_{ij} do produto é dado pela soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de X com os elementos da j-ésima coluna de Y:
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • D tem ordem 1\times 2 e A tem ordem 2\times 3. Como o número de colunas de D (que é 2) é igual ao número de linhas de A (que é 2), o produto D\cdot A existe.
  • O resultado D\cdot A terá ordem 1\times 3: será um vetor linha com três entradas.
  • Vou calcular cada uma das três entradas do produto aplicando a fórmula do produto linha·coluna.

Passo 3

Para facilitar, escrevo as colunas de A (peguei os valores diretamente da matriz A):
\text{col}_1(A)=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]2\end{array}\right],\qquad \text{col}_2(A)=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]1\end{array}\right],\qquad \text{col}_3(A)=\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]-1\end{array}\right].
A matriz D é a linha
D=\left[\begin{array}{cc}1 & -1\end{array}\right].
Agora calculo cada entrada do produto D\cdot A como o produto escalar da linha D com cada coluna de A.
Primeira entrada (coluna 1):
\begin{aligned} (D\cdot A)_{1,1} &= 1\cdot 1 + (-1)\cdot 2\\[4pt] &= 1 - 2\\[4pt] &= -1. \end{aligned}
Segunda entrada (coluna 2):
\begin{aligned} (D\cdot A)_{1,2} &= 1\cdot 2 + (-1)\cdot 1\\[4pt] &= 2 - 1\\[4pt] &= 1. \end{aligned}
Terceira entrada (coluna 3):
\begin{aligned} (D\cdot A)_{1,3} &= 1\cdot 3 + (-1)\cdot(-1)\\[4pt] &= 3 + 1\\[4pt] &= 4. \end{aligned}]

Passo 4

Reunindo as três entradas calculadas, o produto D\cdot A é o vetor linha
D\cdot A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 4\end{array}\right].

Resposta

\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 4\end{array}\right]

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