Questão 14.
A sequência de funções f_{n}(x)=x e^{-|n x|} converge pontualmente em \mathbb{R}. A afirmação é verdadeira ou falsa?

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de funções f_{n}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definidas por
f_{n}(x)=x\,e^{-|n x|}
e quer saber se f_{n} converge pontualmente em \mathbb{R}. Para isso, vamos fixar um x\in\mathbb{R} e calcular \lim_{n\to\infty}f_{n}(x).

Passo 2

Analisando o caso x=0:
f_{n}(0)=0\cdot e^{-|n\cdot0|}=0\quad\text{para todo }n,
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\lim_{n\to\infty}f_{n}(0)=0.

Passo 3

Agora, para x\neq0, temos |n x|=n|x|\to\infty quando n\to\infty. Como e^{-n|x|}\to0, então
f_{n}(x)=x\,e^{-n|x|}\;\longrightarrow\;x\cdot0=0.

Passo 4

Concluímos que para todo x\in\mathbb{R} vale
\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=0.
Portanto, a sequência converge pontualmente à função nula em \mathbb{R}.

Resposta

Verdadeira.

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