Questão 17.
Seja
. Qual o valor de
?
Seja
Passo 1
O enunciado define a função
e pede o valor de
O conteúdo principal é a integração de séries de potências, onde usaremos a convergência absoluta para trocar soma e integral e em seguida somar uma série numérica.
Passo 2
Como para
a série
converge absolutamente (pois
converge), podemos integrar termo a termo:
Passo 3
Calculamos a integral de cada termo:
Logo
Passo 4
Defina
Fazemos frações parciais em
. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando por
e igualando coeficientes, obtemos
Assim
Passo 5
Agora somamos termo a termo:
As duas séries divergentes em
se cancelam quando combinadas com
. Levando
e usando
encontra-se
Passo 6
Volta-mos ao integral: