Questão 17.
Seja f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n^{2}}. Qual o valor de \int_{-1}^{1} f(x) d x ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n^{2}}
e pede o valor de
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx.
O conteúdo principal é a integração de séries de potências, onde usaremos a convergência absoluta para trocar soma e integral e em seguida somar uma série numérica.

Passo 2

Como para |x|\le1 a série \sum_{n=1}^\infty x^{2n}/n^2 converge absolutamente (pois \sum1/n^2 converge), podemos integrar termo a termo:
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\int_{-1}^{1}x^{2n}\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral de cada termo:
\int_{-1}^{1}x^{2n}\,dx =2\int_{0}^{1}x^{2n}\,dx =2\cdot\frac{1}{2n+1} =\frac{2}{2n+1}.
Logo
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}(2n+1)}.

Passo 4

Defina
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}(2n+1)}.
Fazemos frações parciais em \displaystyle \frac{1}{n^{2}(2n+1)}. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{n^{2}(2n+1)} =\frac{A}{n}+\frac{B}{n^{2}}+\frac{C}{2n+1}.
Multiplicando por n^{2}(2n+1) e igualando coeficientes, obtemos
A=-2,\quad B=1,\quad C=4.
Assim
\frac{1}{n^{2}(2n+1)} =-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}+\frac{4}{2n+1}.

Passo 5

Agora somamos termo a termo:
S =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}+\frac{4}{2n+1}\Bigr) =-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}.
As duas séries divergentes em H_{N}=\sum_{n=1}^{N}1/n se cancelam quando combinadas com \sum1/(2n+1). Levando N\to\infty e usando
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6},\quad \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n+1} =H_{2N+1}-1-\frac{1}{2}H_{N},
encontra-se
S=\frac{\pi^{2}}{6}+4\ln2-4.

Passo 6

Volta-mos ao integral:
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =2S =2\Bigl(\frac{\pi^{2}}{6}+4\ln2-4\Bigr) =\frac{\pi^{2}}{3}+8\ln2-8.

Resposta

\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\frac{\pi^{2}}{3}+8\ln2-8.

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