Questão 16.
A sequência de funções f_{n}(x)=n e^{-n x} converge uniformemente em [0,+\infty). A afirmação é verdadeira ou falsa?

Passo 1

O enunciado dá a sequência de funções
f_{n}(x) = n e^{-n x},\quad x\in[0,+\infty),
e pergunta se essa sequência converge uniformemente em [0,+\infty). Vamos revisar o que é convergência uniforme e depois analisar o comportamento de f_{n}.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se há convergência pontual e qual seria a função limite f. Para x>0 fixo, temos
\lim_{n\to\infty} f_{n}(x) = \lim_{n\to\infty} n e^{-n x} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{e^{n x}} = 0,
pois o exponencial cresce muito mais rápido que n. Já em x=0,
f_{n}(0) = n e^{-n\cdot0} = n \;\longrightarrow\; +\infty.
Logo, não existe valor finito que seja o limite pontual em x=0. Portanto, a sequência nem mesmo converge ponto a ponto em todo o intervalo [0,+\infty).

Passo 3

Convergência uniforme exige, em particular, convergência pontual em todo o domínio. Como em x=0 não há limite finito, a sequência não pode convergir uniformemente em [0,+\infty).

Resposta

Falsa.

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