Questão 3.1 A equação geral de um campo de velocidade é dada abaixo, \mathrm{U}_{\mathrm{o}} \mathrm{e} \mathrm{V}_{\mathrm{o}} são constantes, \mathrm{a}_{1}=\mathrm{b}_{1}=1 e \mathrm{a}_{2}=\mathrm{b}_{2}=-1.
V(x, y)=\left(U_{0}+a_{1} x+b_{1} y\right) i+\left(V_{0}+a_{2} x+b_{2} y\right) j
A respeito deste escamento responda ao que se pede:
a. Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento.
b. Determinar o módulo vetor aceleração e suas componentes.
c. Determine se este escoamento é incompressível.
d. Encontre a equação do vetor vorticidade e se o escoamento é irrotacional?
e. Encontre todas as coordenadas do tensor taxa de deformação.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional (com U_0 e V_0 constantes, a_1=b_1=1, a_2=b_2=-1):
\mathbf{V}(x,y)=\big(U_0 + a_1 x + b_1 y\big)\,\mathbf{i}+\big(V_0 + a_2 x + b_2 y\big)\,\mathbf{j},
ou, substituindo os coeficientes fornecidos,
\mathbf{V}(x,y)=\big(U_0 + x + y\big)\,\mathbf{i}+\big(V_0 - x - y\big)\,\mathbf{j}.
Chamando u(x,y)=U_0+x+y e v(x,y)=V_0-x-y, o enunciado pede:
a. Determinar a dimensão e o regime de escoamento.
b. Determinar o módulo do vetor aceleração e suas componentes.
c. Verificar se o escoamento é incompressível.
d. Encontrar o vetor vorticidade e dizer se o escoamento é irrotacional.
e. Encontrar todas as coordenadas do tensor taxa de deformação (tensor simétrico de velocidades).

Passo 2

Dimensão e regime de escoamento — explicação detalhada passo a passo.
  • Dimensão: o campo tem apenas componentes em \mathbf{i} e \mathbf{j} que dependem somente de x e y. Portanto é um escoamento bidimensional (2D): as componentes em z são nulas e não há dependência em z.
  • Regime temporal: o campo dado não depende do tempo t. Logo é um escoamento estacionário (ou steady): \partial\mathbf{V}/\partial t = \mathbf{0}.
  • Natureza espacial: as componentes u e v são funções lineares das coordenadas ( u e v são afins). Isso significa que as derivadas espaciais são constantes — é um escoamento com gradiente de velocidade uniforme (campo de velocidades linear no espaço).
    Resumo curto: é um escoamento 2D, estacionário e com velocidade linear (afim) em x,y.

Passo 3

Cálculo das componentes da aceleração e do módulo — ensinando a fórmula e aplicando.
Primeiro, a definição que usamos: a aceleração de uma partícula fluida é a derivada material da velocidade,
\mathbf{a}=\frac{D\mathbf{V}}{Dt}=\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial t}+(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
  • Aqui \partial\mathbf{V}/\partial t é a derivada parcial no tempo (taxa local).
  • (\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V} é o termo convectivo: aplica-se a operação \mathbf{V}\cdot\nabla = u\partial_x + v\partial_y sobre cada componente de \mathbf{V}.
No nosso caso o campo é estacionário, então \partial\mathbf{V}/\partial t=\mathbf{0} e
\mathbf{a}=(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Lembre que
u(x,y)=U_0+x+y,\qquad v(x,y)=V_0-x-y.
As derivadas são constantes:
\partial_x u=1,\quad \partial_y u=1,\quad \partial_x v=-1,\quad \partial_y v=-1.
Agora as componentes da aceleração: para a componente x (denotada a_x)
a_x = u\,\partial_x u + v\,\partial_y u = u\cdot 1 + v\cdot 1 = u+v.
Substituindo u e v:
a_x = (U_0+x+y)+(V_0-x-y)=U_0+V_0.
Portanto a_x é constante (independe de x,y).
Para a componente y (denotada a_y)
a_y = u\,\partial_x v + v\,\partial_y v = u\cdot(-1)+v\cdot(-1) = -u-v.
Substituindo:
a_y = -(U_0+x+y)-(V_0-x-y)=-(U_0+V_0).
Logo o vetor aceleração é
\mathbf{a}=(U_0+V_0)\,\mathbf{i}-(U_0+V_0)\,\mathbf{j}.
Módulo do vetor aceleração (norma Euclidiana):
|\mathbf{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{(U_0+V_0)^2+(-(U_0+V_0))^2} =\sqrt{2}\,|U_0+V_0|.
Interpretação física curta: apesar da velocidade variar no espaço, as contribuições convectivas somam-se de modo que a aceleração material é constante neste escoamento linear.

Passo 4

Verificação de incompressibilidade — fórmula e aplicação.
A condição de incompressibilidade para um fluido é
\nabla\cdot\mathbf{V}=\partial_x u+\partial_y v = 0.
Calculando com as derivadas que já temos:
\partial_x u = 1,\qquad \partial_y v = -1,
portanto
\nabla\cdot\mathbf{V}=1+(-1)=0.
Como a divergência é zero em todo ponto, o escoamento é incompressível. Explicação: divergência nula significa variação volumétrica nula localmente (volume de um fluido material não muda infinitesimalmente).

Passo 5

Vorticidade e irrotacionalidade — definição e cálculo.
A vorticidade é o rotor do campo de velocidades:
\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{V}.
Para um escoamento 2D (componentes somente em x,y) a vorticidade tem apenas componente z:
\omega_z=\partial_x v-\partial_y u.
Usando as derivadas:
\partial_x v = -1,\qquad \partial_y u = 1,
logo
\omega_z = -1 - 1 = -2.
Portanto o vetor vorticidade é
\boldsymbol{\omega} = -2\,\mathbf{k}.
Um escoamento é chamado irrotacional se \boldsymbol{\omega}=\mathbf{0}. Aqui \boldsymbol{\omega}\neq\mathbf{0}, logo o escoamento NÃO é irrotacional (é rotacional). Observação: o sinal negativo indica o sentido de rotação em relação à direção positiva de \mathbf{k}.

Passo 6

Tensor taxa de deformação (tensor de velocidades simétrico) — definição e cálculo completo.
Definição: o tensor taxa de deformação (também chamado de tensor de extensão ou tensor simétrico de velocidades) tem componentes
D_{ij}=\frac{1}{2}\big(\partial_{x_j} v_i + \partial_{x_i} v_j\big),
onde v_1=u, v_2=v e x_1=x, x_2=y. Em 2D os componentes relevantes são D_{xx},D_{yy},D_{xy}=D_{yx}.
Calculemos cada um:
  • D_{xx}=\frac{1}{2}(2\partial_x u)=\partial_x u = 1. (mais diretamente D_{xx}=\partial_x u.)
  • D_{yy}=\frac{1}{2}(2\partial_y v)=\partial_y v = -1.
  • D_{xy}=D_{yx}=\frac{1}{2}(\partial_y u+\partial_x v)=\frac{1}{2}(1+(-1))=0.
Logo a matriz do tensor (no sistema (x,y)) é
\mathbf{D}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{pmatrix}.
Interpretação física simples: há alongamento (taxa positiva) na direção x e compressão (taxa negativa) na direção y; não há taxa de cisalhamento (componentes off-diagonais nulas). A parte antissimétrica do gradiente de velocidade (taxa de rotação) pode ser escrita por
W_{xy}=\tfrac{1}{2}(\partial_y u-\partial_x v)=\tfrac{1}{2}(1-(-1))=1,
que está ligada à vorticidade (de fato \omega_z=\partial_x v-\partial_y u=-2 e \omega_z=-2W_{xy} neste sinalado convênio).]

Resposta

a. Dimensão: 2D (bidimensional). Regime: estacionário (steady), planar e linear/afim no espaço (gradiente de velocidade constante).
b. \displaystyle \mathbf{a}=(U_0+V_0)\,\mathbf{i}-(U_0+V_0)\,\mathbf{j},\qquad |\mathbf{a}|=\sqrt{2}\,|U_0+V_0|.
c. Sim, o escoamento é incompressível, pois \nabla\cdot\mathbf{V}=1+(-1)=0.
d. \displaystyle \boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{V}=-2\,\mathbf{k}. O escoamento não é irrotacional.
e. Componentes do tensor taxa de deformação:
\mathbf{D}=\begin{pmatrix}D_{xx} & D_{xy}\\[4pt] D_{yx} & D_{yy}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},
ou seja D_{xx}=1,\;D_{xy}=D_{yx}=0,\;D_{yy}=-1.]

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