Questão 3.1 A equação geral de um campo de velocidade é dada abaixo,
são constantes,
e
.
A respeito deste escamento responda ao que se pede:
a. Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento.
b. Determinar o módulo vetor aceleração e suas componentes.
c. Determine se este escoamento é incompressível.
d. Encontre a equação do vetor vorticidade e se o escoamento é irrotacional?
e. Encontre todas as coordenadas do tensor taxa de deformação.
a. Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento.
b. Determinar o módulo vetor aceleração e suas componentes.
c. Determine se este escoamento é incompressível.
d. Encontre a equação do vetor vorticidade e se o escoamento é irrotacional?
e. Encontre todas as coordenadas do tensor taxa de deformação.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional (com
e
constantes,
,
):
ou, substituindo os coeficientes fornecidos,
Chamando
e
, o enunciado pede:
a. Determinar a dimensão e o regime de escoamento.
b. Determinar o módulo do vetor aceleração e suas componentes.
c. Verificar se o escoamento é incompressível.
d. Encontrar o vetor vorticidade e dizer se o escoamento é irrotacional.
e. Encontrar todas as coordenadas do tensor taxa de deformação (tensor simétrico de velocidades).
a. Determinar a dimensão e o regime de escoamento.
b. Determinar o módulo do vetor aceleração e suas componentes.
c. Verificar se o escoamento é incompressível.
d. Encontrar o vetor vorticidade e dizer se o escoamento é irrotacional.
e. Encontrar todas as coordenadas do tensor taxa de deformação (tensor simétrico de velocidades).
Passo 2
Dimensão e regime de escoamento — explicação detalhada passo a passo.
- Dimensão: o campo tem apenas componentes em
e que dependem somente de e . Portanto é um escoamento bidimensional (2D): as componentes em são nulas e não há dependência em . - Regime temporal: o campo dado não depende do tempo
. Logo é um escoamento estacionário (ou steady): . - Natureza espacial: as componentes
e são funções lineares das coordenadas ( e são afins). Isso significa que as derivadas espaciais são constantes — é um escoamento com gradiente de velocidade uniforme (campo de velocidades linear no espaço).
Resumo curto: é um escoamento 2D, estacionário e com velocidade linear (afim) em.
Passo 3
Cálculo das componentes da aceleração e do módulo — ensinando a fórmula e aplicando.
Primeiro, a definição que usamos: a aceleração de uma partícula fluida é a derivada material da velocidade,
- Aqui
é a derivada parcial no tempo (taxa local). -
é o termo convectivo: aplica-se a operação sobre cada componente de .
No nosso caso o campo é estacionário, então
e
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Lembre que
As derivadas são constantes:
Agora as componentes da aceleração: para a componente
(denotada
)
Substituindo
e
:
Portanto
é constante (independe de
).
Para a componente
(denotada
)
Substituindo:
Logo o vetor aceleração é
Módulo do vetor aceleração (norma Euclidiana):
Interpretação física curta: apesar da velocidade variar no espaço, as contribuições convectivas somam-se de modo que a aceleração material é constante neste escoamento linear.
Passo 4
Verificação de incompressibilidade — fórmula e aplicação.
A condição de incompressibilidade para um fluido é
Calculando com as derivadas que já temos:
portanto
Como a divergência é zero em todo ponto, o escoamento é incompressível. Explicação: divergência nula significa variação volumétrica nula localmente (volume de um fluido material não muda infinitesimalmente).
Passo 5
Vorticidade e irrotacionalidade — definição e cálculo.
A vorticidade é o rotor do campo de velocidades:
Para um escoamento 2D (componentes somente em
) a vorticidade tem apenas componente
:
Usando as derivadas:
logo
Portanto o vetor vorticidade é
Um escoamento é chamado irrotacional se
. Aqui
, logo o escoamento NÃO é irrotacional (é rotacional). Observação: o sinal negativo indica o sentido de rotação em relação à direção positiva de
.
Passo 6
Tensor taxa de deformação (tensor de velocidades simétrico) — definição e cálculo completo.
Definição: o tensor taxa de deformação (também chamado de tensor de extensão ou tensor simétrico de velocidades) tem componentes
onde
,
e
,
. Em 2D os componentes relevantes são
.
Calculemos cada um:
-
(mais diretamente .) -
-
Logo a matriz do tensor (no sistema
) é
Interpretação física simples: há alongamento (taxa positiva) na direção
e compressão (taxa negativa) na direção
; não há taxa de cisalhamento (componentes off-diagonais nulas). A parte antissimétrica do gradiente de velocidade (taxa de rotação) pode ser escrita por
que está ligada à vorticidade (de fato
e
neste sinalado convênio).]
Resposta
a. Dimensão: 2D (bidimensional). Regime: estacionário (steady), planar e linear/afim no espaço (gradiente de velocidade constante).
b.
c. Sim, o escoamento é incompressível, pois
d. O escoamento não é irrotacional.
e. Componentes do tensor taxa de deformação:
b.
c. Sim, o escoamento é incompressível, pois
d.
e. Componentes do tensor taxa de deformação:
ou seja
]