Questão 15 - Considere uma nave espacial com uma grande vela feita de material leve, onde a nave usaria o momento linear da radiação solar para propulsão.
A - A vela deveria absorver ou refletir a luz solar ??? Por que ???
B - Qual deveria ser a área da vela para impulsionar uma nave espacial de massa igual a 10.000 kg no sentido contrário ao da força de atração gravitacional do Sol ???
OBS: Note que a resposta não depende da distância entre a nave e o Sol.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas:
  1. A vela deveria absorver ou refletir a luz solar? (justifique)
  2. Qual deve ser a área da vela para impulsionar uma nave de massa \,m=10\,000\\ \mathrm{kg}\, no sentido contrário à atração gravitacional do Sol? (obs.: a resposta não depende da distância ao Sol)
Informações e dados relevantes dados ou necessários (vou listar os valores de constantes que vou usar):
m = 10\,000\\ \mathrm{kg}
G = 6,67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}
M_\odot = 1,98847\times10^{30}\\ \mathrm{kg}
c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
L_\odot = 3,828\times10^{26}\\ \mathrm{W}
Observação: o enunciado afirma que a resposta não depende da distância; essa propriedade aparece porque tanto a intensidade da radiação quanto a força gravitacional decaem com 1/r^2 — vou mostrar isso nos passos seguintes.

Passo 2

Conceito de pressão de radiação (aula rápida e intuitiva).
  • Cada fóton carrega energia E e momento linear p = E/c. Quando a luz incide numa superfície, a transferência de momento por unidade de tempo por unidade de área é percebida como pressão.
  • Se a superfície absorve a luz (absorção perfeita), a pressão de radiação normal à superfície é
P_{\text{absorve}} = \frac{I}{c},
onde I é a intensidade (irradiância) da luz em \mathrm{W/m^2}.
  • Se a superfície reflete perfeitamente a luz (reflexão especular normal), a mudança de momento é o dobro (o fóton volta no sentido oposto), então
P_{\text{reflete}} = \frac{2I}{c}.
Explicação simples: absorver = parar fóton → recebe p=E/c; refletir = inverter direção → recebe 2p=2E/c. Logo, refletir gera o dobro da pressão por mesma intensidade I.

Passo 3

Resposta da parte A com justificativa didática.
  • Para maximizar a força por área (ou seja, reduzir a área necessária) e para reduzir aquecimento por absorção, a vela deve refletir a luz solar (ou seja, ser altamente refletiva).
  • Conclusão provisória (resumo que ficará também na resposta final): a vela deveria REFLETIR.

Passo 4

Expressão da força gravitacional que queremos vencer.
  • A força gravitacional do Sol sobre a nave (módulo) é, pela lei da gravitação universal:
F_{\text{grav}} = \frac{G\,M_\odot\,m}{r^2},
onde r é a distância entre a nave e o Sol. Vou manter r simbólico por enquanto porque ele vai se cancelar depois.

Passo 5

Expressão da força de radiação sobre a vela e equação de equilíbrio.
  • A intensidade solar a distância r é dada por:
I(r)=\frac{L_\odot}{4\pi r^2}.
  • Para uma vela perfeitamente refletora, a pressão de radiação é
P(r)=\frac{2I(r)}{c}=\frac{2}{c}\cdot\frac{L_\odot}{4\pi r^2}=\frac{L_\odot}{2\pi c\,r^2}.
  • A força de radiação sobre uma vela de área A (normal à luz) é
F_{\text{rad}} = P(r)\,A = \frac{L_\odot}{2\pi c\,r^2}\,A.
  • Para que a força de radiação empurre a nave no sentido oposto à gravidade, basta igualar módulos (força para cima igual à gravidade para baixo):
F_{\text{rad}} = F_{\text{grav}}.
Substituindo as expressões:
\frac{L_\odot}{2\pi c\,r^2}\,A \;=\; \frac{G\,M_\odot\,m}{r^2}.

Passo 6

Cancelamento de r^2 e expressão final para a área A.
  • Note que \,r^2 aparece nos dois lados e cancela, explicando a independência da distância:
\frac{L_\odot}{2\pi c}\,A = G\,M_\odot\,m.
  • Isolando A:
A = \frac{2\pi\,G\,M_\odot\,m\,c}{L_\odot}.
Aqui cada símbolo significa:
A:\\ \text{área da vela (m}^2\text{)},\quad G:\\ \text{constante gravitacional},á
M_\odot:\\ \text{massa do Sol},\quad m:\\ \text{massa da nave},
c:\\ \text{velocidade da luz},\quad L_\odot:\\ \text{luminosidade do Sol}.

Passo 7

Substituição numérica passo a passo.
  • Vou usar G\,M_\odot = 1,32712440018\times10^{20}\\ \mathrm{m^3/s^2} (constante gravitacional solar usual) para simplificar os cálculos.
  • Primeiro calcule G\,M_\odot\,m:
G\,M_\odot\,m = 1,32712440018\times10^{20}\times 10\,000 = 1,32712440018\times10^{24}.
  • Multiplicando por c:
G\,M_\odot\,m\,c = 1,32712440018\times10^{24}\times 2,99792458\times10^{8} = 3,9786189175\times10^{32}\quad(\text{aprox.}).
  • Multiplicando por 2\pi:
2\pi\,G\,M_\odot\,m\,c \approx 6,28318530718\times 3,9786189175\times10^{32} \approx 2,4998359\times10^{33}.
  • Finalmente dividindo por L_\odot:
A = \frac{2,4998359\times10^{33}}{3,828\times10^{26}} \approx 6,529\times10^{6}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 8

Interpretação prática e número final arredondado.
  • O valor obtido é aproximadamente
A \approx 6,53\times10^{6}\\ \mathrm{m^2}.
  • Para ter uma noção: se a vela fosse quadrada, o lado teria comprimento
\sqrt{A}\approx\sqrt{6,53\times10^{6}}\approx 2,56\times10^{3}\\ \mathrm{m}=2,56\\ \mathrm{km}.
  • Observação importante: esse cálculo assume vela perfeitamente refletora e que a massa da vela é desprezível em relação à nave. Se a vela tiver massa significativa ou refletividade menor que 1, a área necessária aumenta.

Resposta

A: Refletir
B: \,A \approx 6,53\times10^{6}\\ \text{m}^2

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