Questão 9 - Uma onda eletromagnética se propaga através de um material linear. Para a frequência da luz, a constante dielétrica do material ( \varepsilon_{\mathrm{r}}=\varepsilon / \varepsilon_{0} ) é igual a 1,74 e a permeabilidade relativa ( \mu_{\mathrm{r}}= \mu / \mu_{0} ) é 1,23 . Se a amplitude do campo magnético é igual a 3,80 \times 10^{-9} \mathrm{~T}, qual é a amplitude do campo elétrico ???

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a amplitude do campo elétrico:
\varepsilon_{\mathrm{r}}=1,74,
\mu_{\mathrm{r}}=1,23,
a amplitude do campo magnético vale \;B_0=3,80\times10^{-9}\\ \mathrm{T}.
A pergunta é: qual a amplitude do campo elétrico E_0 correspondente?

Passo 2

Princípio que usamos (explicação didática): numa onda eletromagnética plana que se propaga num meio linear e não condutor, as amplitudes elétrica e magnética estão relacionadas pela velocidade de propagação v do meio através da relação
E_0 = v\,B_0.
Aqui E_0 é a amplitude do campo elétrico (em \mathrm{V/m}), B_0 é a amplitude do campo magnético (em \mathrm{T}) e v é a velocidade da onda no meio (em \mathrm{m/s}). A razão física por trás disso é que o campo elétrico e magnético são mutuamente acoplados e a unidade de vB é \mathrm{(m/s)\cdot T} = \mathrm{V/m}, que é a unidade correta para E.

Passo 3

Agora precisamos do valor de v. A velocidade v no meio é dada por
v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}},
onde \mu=\mu_{\mathrm{r}}\mu_0 e \varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_0. É prático usar o índice de refração efetivo
n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}},
porque então
v=\frac{c}{n},
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Vamos calcular n:
n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}}=\sqrt{1,74\cdot1,23}=\sqrt{2,1402}\approx1,46295.

Passo 4

Calculemos v usando c=2,998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
v=\frac{c}{n}=\frac{2,998\times10^{8}}{1,46295}\approx2,0496\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Finalmente usamos E_0=vB_0. Substituindo:
E_0 = \left(2,0496\times10^{8}\right)\left(3,80\times10^{-9}\right).
Faça a conta passo a passo: 2,0496\times3,80=7,78848 e o fator de potência é 10^{8}\cdot10^{-9}=10^{-1}. Logo
E_0=7,78848\times10^{-1}\\ \mathrm{V/m}=0,778848\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando a um número razoável de algarismos significativos (três algarismos), temos E_0\approx0,779\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Comentário rápido e motivador: pronto — a conta principal é lembrar que E_0=vB_0 e que v=c/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}}. Você já pode aplicar isso direto na prova quando der questões semelhantes. Vai dar certo!

Resposta

\;0,779\\ \mathrm{V/m}

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