Questão 15. Na cristalografia, a difração de raios X é usada para determinar estruturas moleculares, como o DNA. Usando a lei de Bragg, para \mathrm{d}=0,34 \mathrm{~nm} (espaçamento no DNA) e \theta=20^{\circ}, calcule o comprimento de onda \lambda dos raios X necessários para \mathrm{m}=1.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede:
  • Foi dado o espaçamento entre planos cristalinos \,d=0,34\\ \mathrm{nm}\,.
  • Foi dado o ângulo de difração \,\theta=20^\circ\,.
  • Foi dado o número da ordem de difração \,m=1\,.
  • O que pede: calcular o comprimento de onda \lambda dos raios X que satisfazem essas condições.

Passo 2

Apresentar a fórmula e explicar cada variável (a “aula” rápida).
  • A lei de Bragg é
2d\sin\theta = m\lambda.
Explicação das variáveis:
  • \,d\, é a distância entre planos cristalinos (no enunciado é \,0,34\\ \mathrm{nm}\,).
  • \,\theta\, é o ângulo entre o feixe incidente e os planos cristalinos (aqui \,20^\circ\,).
  • \,m\, é a ordem da reflexão (um número inteiro: 1,2,\dots; aqui \,m=1\, significa a primeira ordem).
  • \,\lambda\, é o comprimento de onda procurado.
    Derivando a fórmula para \lambda: isolar \lambda na equação acima dá
\lambda=\frac{2d\sin\theta}{m}.

Passo 3

Substituir os valores e calcular passo a passo.
  • Primeiro calcular 2d:
2d = 2\cdot 0,34\\ \mathrm{nm} = 0,68\\ \mathrm{nm}.
  • Calcular \sin\theta para \theta=20^\circ. Usando uma tabela ou valor conhecido:
\sin 20^\circ \approx 0,34202\\ (\text{aproximadamente }0,342).
  • Multiplicar:
\lambda = \frac{0,68\\ \mathrm{nm}\times 0,34202}{1}.
Fazendo a multiplicação passo a passo (com decomposição):
0,68\times 0,34202 \approx 0,68\times(0,300+0,040+0,00202)
=0,68\cdot0,300 + 0,68\cdot0,040 + 0,68\cdot0,00202
=0,204 + 0,0272 + 0,0013736 \approx 0,2325736\\ \mathrm{nm}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
\lambda \approx 0,233\\ \mathrm{nm}.
  • Converter para metros (opcional, para comparar com valores típicos de raios X):
0,233\\ \mathrm{nm} = 0,233\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 2,33\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Verificação rápida e incentivo:
  • O valor obtido \lambda\approx 0,233\\ \mathrm{nm} está no intervalo típico de raios X (do tamanho de interplanos atômicos), então faz sentido físico.
  • Boa! A técnica foi aplicar a lei de Bragg, isolar \lambda e calcular \sin\theta com cuidado; esse é o procedimento que cai na prova. Vai dar certo — respira e repete esse passo a passo em outros exercícios parecidos.

Resposta

\lambda \approx 0,233\\ \mathrm{nm}
\lambda \approx 2,33\times10^{-10}\\ \mathrm{m}

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