No contexto da teoria cinética dos gases ideias, mostre que:
o calor especifico molar a pressão constate é dado por C_{P}=\frac{5}{2} R.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos à mão.
  • Pedido: mostrar que o calor específico molar à pressão constante é \displaystyle C_{P}=\frac{5}{2}R.
  • Informação implícita: estamos no contexto da teoria cinética dos gases ideais e, portanto, consideramos um gás monoatômico ideal (moléculas sem graus internos de liberdade exceto a translação).
  • Constantes e símbolos que vou usar:
    • \displaystyle k = constante de Boltzmann (energia térmica por molécula por unidade de temperatura).
    • \displaystyle N = número de moléculas do gás (se for um mol, N=N_A, a constante de Avogadro).
    • \displaystyle N_A = número de Avogadro.
    • \displaystyle R = constante dos gases perfeitos, com a relação \displaystyle R=N_A k.
    • \displaystyle m = massa de uma molécula.
    • \displaystyle v = velocidade de uma molécula; \langle v^2\rangle = média do quadrado da velocidade sobre as moléculas.
    • \displaystyle \langle \epsilon\rangle = energia cinética média por molécula.
  • Objetivo prático da sequência: (1) relacionar pressão com energia cinética média das moléculas; (2) obter a energia interna molar U_{\rm mol}(T); (3) calcular C_V e usar a relação entre C_P e C_V para achar C_P.

Passo 2

Derivar a relação entre pressão e energia cinética média das moléculas.
Vou obter a expressão bem conhecida da teoria cinética:
P = \frac{1}{3}\,\frac{N}{V}\,m\langle v^2\rangle.
Raciocínio (passo a passo, bem didático):
  • Pressão P é força por área resultante das colisões das moléculas com as paredes do recipiente.
  • Considere uma molécula com componente de velocidade v_x perpendicular a uma face do volume. Ao colidir elasticamente com a parede, seu momento linear na direção x muda de m v_x para -m v_x, variação de momento \Delta p_x = -m v_x - (m v_x) = -2 m v_x. A parede recebe impulso +2m v_x.
  • Tempo médio entre colisões sucessivas dessa molécula com a mesma face distante por um comprimento L é \Delta t = 2L/|v_x| (vai até a parede oposta e volta). Assim a força média que uma molécula exerce sobre essa face é \Delta p_x/\Delta t = (2m v_x)/(2L/|v_x|) = m v_x^2/L.
  • Somando sobre todas as moléculas e dividindo por área A (com V=AL) e usando que usamos médias sobre direções, obtém-se a forma
P = \frac{m}{V}\sum_{i}\langle v_{x,i}^2\rangle.
  • Por isotropia (direções equivalentes) vale \langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle e \langle v^2\rangle = \langle v_x^2\rangle+\langle v_y^2\rangle+\langle v_z^2\rangle = 3\langle v_x^2\rangle. Então \langle v_x^2\rangle=\tfrac{1}{3}\langle v^2\rangle.
  • Substituindo e passando da soma para N vezes a média por molécula:
P = \frac{mN}{V}\langle v_x^2\rangle = \frac{mN}{V}\cdot\frac{1}{3}\langle v^2\rangle = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\langle v^2\rangle.
Essa é a fórmula que liga pressão e velocidade das moléculas.

Passo 3

Relacionar a energia cinética média por molécula com a temperatura.
  • Energia cinética média por molécula é \displaystyle \langle \epsilon\rangle = \frac{1}{2}m\langle v^2\rangle.
  • Substituindo \langle v^2\rangle da fórmula do passo anterior e comparando com a equação de estado do gás ideal \displaystyle PV = NkT, obtemos:
PV = NkT \quad\text{e}\quad P = \frac{2}{3}\frac{N}{V}\langle \epsilon\rangle,
pois, multiplicando a expressão do passo anterior por \tfrac{1}{2}, tem-se P = \tfrac{2}{3}\frac{N}{V}\langle \epsilon\rangle (ou algebraicamente: substituir m\langle v^2\rangle = 2\langle \epsilon\rangle em P = \frac{1}{3}\frac{N}{V} m\langle v^2\rangle).
  • Igualando as duas expressões para PV:
NkT = PV = \frac{2}{3}N\langle \epsilon\rangle \quad\Rightarrow\quad \langle \epsilon\rangle = \frac{3}{2}kT.
Explicação do resultado: cada molécula translacional tem energia média \tfrac{3}{2}kT (3 graus de liberdade de translação, cada grau contribuindo com \tfrac{1}{2}kT pela equipartição).

Passo 4

Calcular a energia interna total e a energia interna molar do gás monoatômico.
  • Energia interna total do gás com N moléculas é soma das energias médias:
U = N\langle \epsilon\rangle = N\cdot\frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}NkT.
  • Para um mol de gás N=N_A e como \displaystyle R=N_A k, obtemos a energia interna por mol (energia interna molar) U_{\rm mol}:
U_{\rm mol}(T) = \frac{3}{2}N_A k T = \frac{3}{2}RT.
  • Aqui explicito o que cada termo significa: U_{\rm mol} é a energia interna associada a um mol do gás; depende só de T para um gás ideal monoatômico.

Passo 5

Definir C_V e calcular o calor específico molar a volume constante.
  • Definição: calor específico molar a volume constante é a derivada da energia interna molar em relação à temperatura:
C_V = \left(\frac{dU_{\rm mol}}{dT}\right)_V.
  • Como U_{\rm mol}=\tfrac{3}{2}RT, derivando em relação a T
C_V = \frac{3}{2}R.
  • Interpretação: para elevar a temperatura de 1 mol de gás monoatômico em 1 unidade, com volume fixo, são necessárias \tfrac{3}{2}R unidades de calor (por mol).

Passo 6

Usar a relação de Mayer para obter C_P.
  • Para um gás ideal vale a relação de Mayer (pode-se obter a partir da entalpia):
C_P - C_V = R.
Breve justificativa: entalpia molar H_{\rm mol}=U_{\rm mol}+PV = U_{\rm mol}+RT. Então
C_P=\left(\frac{dH_{\rm mol}}{dT}\right)_P=\frac{dU_{\rm mol}}{dT}+R=C_V+R.
  • Substituindo C_V=\tfrac{3}{2}R:
C_P = C_V + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R.

Passo 7

Resumo final e interpretação física curta.
  • Resultado: para um gás monoatômico ideal (só energia cinética de translação), o calor específico molar à pressão constante é
C_P = \frac{5}{2}R.
  • Interpretação física: C_V arca com a energia necessária para aumentar a energia cinética das três direções de movimento ( \tfrac{3}{2}R), e C_P inclui, além disso, o trabalho de expansão realizado pelo gás quando a temperatura sobe a pressão constante — esse trabalho adiciona mais R, totalizando \tfrac{5}{2}R.

Resposta

\displaystyle C_{P}=\frac{5}{2}R

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