No contexto da teoria cinética dos gases ideias, mostre que:
o calor especifico molar a pressão constate é dado por
.
o calor especifico molar a pressão constate é dado por
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos à mão.
- Pedido: mostrar que o calor específico molar à pressão constante é
. - Informação implícita: estamos no contexto da teoria cinética dos gases ideais e, portanto, consideramos um gás monoatômico ideal (moléculas sem graus internos de liberdade exceto a translação).
- Constantes e símbolos que vou usar:
-
= constante de Boltzmann (energia térmica por molécula por unidade de temperatura). -
= número de moléculas do gás (se for um mol, , a constante de Avogadro). -
= número de Avogadro. -
= constante dos gases perfeitos, com a relação . -
= massa de uma molécula. -
= velocidade de uma molécula; = média do quadrado da velocidade sobre as moléculas. -
= energia cinética média por molécula.
-
- Objetivo prático da sequência: (1) relacionar pressão com energia cinética média das moléculas; (2) obter a energia interna molar
; (3) calcular e usar a relação entre e para achar .
Passo 2
Derivar a relação entre pressão e energia cinética média das moléculas.
Vou obter a expressão bem conhecida da teoria cinética:
Raciocínio (passo a passo, bem didático):
- Pressão
é força por área resultante das colisões das moléculas com as paredes do recipiente. - Considere uma molécula com componente de velocidade
perpendicular a uma face do volume. Ao colidir elasticamente com a parede, seu momento linear na direção muda de para , variação de momento . A parede recebe impulso . - Tempo médio entre colisões sucessivas dessa molécula com a mesma face distante por um comprimento
é (vai até a parede oposta e volta). Assim a força média que uma molécula exerce sobre essa face é . - Somando sobre todas as moléculas e dividindo por área
(com ) e usando que usamos médias sobre direções, obtém-se a forma
- Por isotropia (direções equivalentes) vale
e . Então . - Substituindo e passando da soma para
vezes a média por molécula:
Essa é a fórmula que liga pressão e velocidade das moléculas.
Passo 3
Relacionar a energia cinética média por molécula com a temperatura.
- Energia cinética média por molécula é
. - Substituindo
da fórmula do passo anterior e comparando com a equação de estado do gás ideal , obtemos:
pois, multiplicando a expressão do passo anterior por
, tem-se
(ou algebraicamente: substituir
em
).
- Igualando as duas expressões para
:
Explicação do resultado: cada molécula translacional tem energia média
(3 graus de liberdade de translação, cada grau contribuindo com
pela equipartição).
Passo 4
Calcular a energia interna total e a energia interna molar do gás monoatômico.
- Energia interna total do gás com
moléculas é soma das energias médias:
- Para um mol de gás
e como , obtemos a energia interna por mol (energia interna molar) :
- Aqui explicito o que cada termo significa:
é a energia interna associada a um mol do gás; depende só de para um gás ideal monoatômico.
Passo 5
Definir
e calcular o calor específico molar a volume constante.
- Definição: calor específico molar a volume constante é a derivada da energia interna molar em relação à temperatura:
- Como
, derivando em relação a dá
- Interpretação: para elevar a temperatura de 1 mol de gás monoatômico em 1 unidade, com volume fixo, são necessárias
unidades de calor (por mol).
Passo 6
Usar a relação de Mayer para obter
.
- Para um gás ideal vale a relação de Mayer (pode-se obter a partir da entalpia):
Breve justificativa: entalpia molar
. Então
- Substituindo
:
Passo 7
Resumo final e interpretação física curta.
- Resultado: para um gás monoatômico ideal (só energia cinética de translação), o calor específico molar à pressão constante é
- Interpretação física:
arca com a energia necessária para aumentar a energia cinética das três direções de movimento ( ), e inclui, além disso, o trabalho de expansão realizado pelo gás quando a temperatura sobe a pressão constante — esse trabalho adiciona mais , totalizando .