Questão 15

Demonstre que a integral de linha de um campo elétrico estático ao longo de um caminho fechado é sempre zero. Utilize o teorema de Stokes em sua demonstração e explique o significado físico deste resultado.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para mostrar que a integral de linha de um campo elétrico estático ao longo de um caminho fechado é sempre zero. O assunto aqui é eletrostática e cálculo vetorial. Para resolver a gente vai precisar de duas coisas principais:
  1. A equação de Maxwell–Faraday em regime estático (que diz que ).
  2. O teorema de Stokes, que liga integral de linha de um campo vetorial ao longo do contorno de uma superfície com a integral de superfície do rotacional desse campo.

Passo 2

Primeiro, a teoria: em eletrostática o campo elétrico nabla times E = -partial Bpartial t não varia no tempo, então o termo nabla times E = 0 da lei de Faraday some. A equação de Maxwell–Faraday geral é
Como estamos em regime estático ( ), fica simplesmente

Passo 3

Agora o teorema de Stokes: ele diz que, para qualquer superfície ointpartial SEcdot dl ;=; integral duplaS(nabla times E)cdot dS, com contorno , vale
onde é o vetor tangente ao contorno e é o vetor normal à superfície.

Passo 4

Basta juntar as duas peças: como em eletrostática integral duplaS(nabla times E)cdot dS =integral duplaS0cdot dS =0 , temos
ointpartial SEcdot dl =0
Logo, pela Stokes,

Passo 5

Significado físico: dizer que é o mesmo que afirmar que o campo elétrico estático é conservativo. Em outras palavras, o trabalho que o campo faz ao mover uma carga entre dois pontos independe do caminho e, se você fechar o caminho, não ganha nem perde energia.

Resposta

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