Questão 15
Demonstre que a integral de linha de um campo elétrico estático ao longo de um caminho fechado é sempre zero. Utilize o teorema de Stokes em sua demonstração e explique o significado físico deste resultado.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para mostrar que a integral de linha de um campo elétrico estático ao longo de um caminho fechado é sempre zero. O assunto aqui é eletrostática e cálculo vetorial. Para resolver a gente vai precisar de duas coisas principais:
- A equação de Maxwell–Faraday em regime estático (que diz que
). - O teorema de Stokes, que liga integral de linha de um campo vetorial ao longo do contorno de uma superfície com a integral de superfície do rotacional desse campo.
Passo 2
Primeiro, a teoria: em eletrostática o campo elétrico
não varia no tempo, então o termo
da lei de Faraday some. A equação de Maxwell–Faraday geral é
Como estamos em regime estático (
), fica simplesmente
Passo 3
Agora o teorema de Stokes: ele diz que, para qualquer superfície
com contorno
, vale
onde
é o vetor tangente ao contorno
e
é o vetor normal à superfície.
Passo 4
Basta juntar as duas peças: como em eletrostática
, temos
Logo, pela Stokes,
Passo 5
Significado físico: dizer que
é o mesmo que afirmar que o campo elétrico estático é conservativo. Em outras palavras, o trabalho que o campo faz ao mover uma carga entre dois pontos independe do caminho e, se você fechar o caminho, não ganha nem perde energia.