Uma casca esférica de raio R1 está carregada com uma densidade superficial de carga sigma. No centro da casca, há uma carga pontual Q. Determine o campo elétrico em função da distância r do centro (iii) fora da casca ( r>R2 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá: a questão fala de uma casca esférica (como uma casca de ovo) de raio que tem uma carga superficial com densidade . No centro dessa casca tem uma carga pontual . A parte (iii) pede o campo elétrico para pontos fora da casca, ou seja quando a distância ao centro satisfaz .
Conteúdo: Lei de Gauss em simetria esférica. Vamos precisar saber:
  • Como escolher a superfície de Gauss.
  • Que o fluxo elétrico pela superfície é .
  • Que .

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma superfície de Gauss esférica de raio , bem no centro, com . Por causa da simetria esférica, o campo elétrico aponta radialmente e tem o mesmo módulo em todo ponto da esfera.

Passo 3

Escrevemos a Lei de Gauss:
oint Ecdot dA ;=;dfracQrm intvarepsilon0
No nosso caso, o fluxo é
E(r),l(4pi r^2r)
porque é radial e também, então .

Passo 4

O Qrm casca = sigma times área da casca = sigma,(4pi R2^2) (carga total dentro da superfície) é a soma da carga central Qrm int = Q + 4pi R2^2,sigma mais a carga na casca. A carga na casca é
á
Então

Passo 5

Substituindo tudo na Lei de Gauss:
E(r),(4pi r^2) ;=;Q + 4pi R2^2,sigmavarepsilon0
Isolando E(r) ;=; 14pivarepsilon0;Q + 4pi R2^2,sigmar^2 :

Resposta

Para boxedE(r) ;=; 14pivarepsilon0,Q + 4pi R2^2,sigmar^2(radialmente para fora) , o campo elétrico é

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