Questão 14

Considere um campo elétrico E(x, y, z, t)=E0 cos (omega t-k z) i, onde E0, omega e k são constantes.
(a) Calcule o rotacional nabla times E.
(b) Este campo é irrotacional? Justifique.
© Qual é a relação entre este resultado e as equações de Maxwell?

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos um campo elétrico
vec E(x,y,z,t)=E0cos(omega t-kz), i
onde , e são constantes.
Conteúdo da matéria: cálculo vetorial (rotacional) e as equações de Maxwell (especialmente a lei de Faraday).
O que vamos precisar:
  1. A definição de rotacional em coordenadas cartesianas,
  2. A interpretação de “irrotacional” (rotacional zero),
  3. A lei de Faraday-Maxwell: .

Passo 2

Vamos calcular nablatimesvec E =l(partial Ezpartial y-partial Eypartial z,,, partial Expartial z-partial Ezpartial x,,, partial Eypartial x-partial Expartial yr) .
Em coordenadas cartesianas:
nablatimesvec E=l(0,,,E0,ksin(omega t-kz),,,0r)
No nosso caso e .
Logo:
  • Componente : .
  • Componente :
    (usamos )
  • Componente : .
Portanto

Passo 3

A pergunta (b) é: “Este campo é irrotacional?”
Irrotacional significa .
Como achamos
,
que em geral não é zero (exceto em instantes ou posições específicas onde ),
a resposta é: não, ele não é irrotacional.

Passo 4

Agora ©: qual a relação com as equações de Maxwell?
A lei de Faraday-Maxwell diz
nablatimesvec E=-partialvec Bpartial t
Nosso resultado mostra ,
logo existe um campo magnético que varia no tempo.
Isso faz todo sentido: em ondas eletromagnéticas, e se acoplam justamente por essa lei.
Se fosse eletrostática ( ), aí e o campo seria irrotacional.

Resposta

(a)
(b) Não, não é irrotacional, pois o rotacional é diferente de zero em geral.
© Esse resultado reflete a lei de Faraday-Maxwell : um rotacional não nulo indica um variando no tempo, típico de ondas eletromagnéticas.

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