Questão 14
Considere um campo elétrico
, onde
e
são constantes.
(a) Calcule o rotacional
.
(b) Este campo é irrotacional? Justifique.
© Qual é a relação entre este resultado e as equações de Maxwell?
(a) Calcule o rotacional
(b) Este campo é irrotacional? Justifique.
© Qual é a relação entre este resultado e as equações de Maxwell?
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos um campo elétrico
onde
,
e
são constantes.
Conteúdo da matéria: cálculo vetorial (rotacional) e as equações de Maxwell (especialmente a lei de Faraday).
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: cálculo vetorial (rotacional) e as equações de Maxwell (especialmente a lei de Faraday).
O que vamos precisar:
- A definição de rotacional em coordenadas cartesianas,
- A interpretação de “irrotacional” (rotacional zero),
- A lei de Faraday-Maxwell:
.
Passo 2
Vamos calcular
.
Em coordenadas cartesianas:
Em coordenadas cartesianas:
No nosso caso
e
.
Logo:
Logo:
- Componente
: . - Componente
:
(usamos) - Componente
: .
Portanto
Passo 3
A pergunta (b) é: “Este campo é irrotacional?”
Irrotacional significa .
Como achamos
,
que em geral não é zero (exceto em instantes ou posições específicas onde ),
a resposta é: não, ele não é irrotacional.
Irrotacional significa
Como achamos
que em geral não é zero (exceto em instantes ou posições específicas onde
a resposta é: não, ele não é irrotacional.
Passo 4
Agora ©: qual a relação com as equações de Maxwell?
A lei de Faraday-Maxwell diz
A lei de Faraday-Maxwell diz
Nosso resultado mostra
,
logo existe um campo magnético que varia no tempo.
Isso faz todo sentido: em ondas eletromagnéticas, e
se acoplam justamente por essa lei.
Se fosse eletrostática ( ), aí
e o campo seria irrotacional.
logo existe um campo magnético
Isso faz todo sentido: em ondas eletromagnéticas,
Se fosse eletrostática (
Resposta
(a)
(b) Não, não é irrotacional, pois o rotacional é diferente de zero em geral.
© Esse resultado reflete a lei de Faraday-Maxwell : um rotacional não nulo indica um
variando no tempo, típico de ondas eletromagnéticas.
(b) Não, não é irrotacional, pois o rotacional é diferente de zero em geral.
© Esse resultado reflete a lei de Faraday-Maxwell