Questão 15: Determinar o centro, os focos e os vértices da elipse: \frac{(x-3)^{2}}{225}+\frac{(y-4)^{2}}{289}=1.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
\frac{(x-3)^{2}}{225}+\frac{(y-4)^{2}}{289}=1
e pede o centro, os vértices e os focos. Aqui o conteúdo é a forma reduzida da elipse, em que o denominador maior corresponde ao eixo maior. Vamos extrair o centro (h,k) e os parâmetros a, b para, em seguida, achar vértices e focos.

Passo 2

Comparando com
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1 \quad\text{(com \(a>b\))}
vemos que
h=3,\quad k=4,\quad a^{2}=289,\quad b^{2}=225.
Logo
a=\sqrt{289}=17, \qquad b=\sqrt{225}=15.

Passo 3

Como o denominador maior está em (y-k)^{2}, o eixo maior é vertical.
Os vértices ficam a uma distância a para cima e para baixo do centro:
V_{1}=(h,\;k+a)=(3,\;4+17)=(3,21),
V_{2}=(h,\;k-a)=(3,\;4-17)=(3,-13).

Passo 4

Para encontrar os focos, calculamos
c^{2}=a^{2}-b^{2}=289-225=64
e portanto
c=\sqrt{64}=8.
Como o eixo maior é vertical, os focos estão em
F_{1}=(h,\;k+c)=(3,\;4+8)=(3,12),
F_{2}=(h,\;k-c)=(3,\;4-8)=(3,-4).

Resposta

Centro: (3,4)
Vértices: (3,21) e (3,-13)
Focos: (3,12) e (3,-4)

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