( 1,5 ponto) Seja F o subespaço vetorial (plano) de \mathbb{R}^{3} dado por F=\left\{(x, y, z) \in R^{3} /\right. x-y+z=0\}. Obtenha uma base \left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} tal que u_{1} \mathrm{c} u_{2} pertençam a F .

Passo 1

O enunciado pede uma base \{u_{1},u_{2},u_{3}\} de \mathbb{R}^{3} de modo que u_{1} e u_{2} pertençam ao plano
F = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x - y + z = 0\}.
O conteúdo é subespaços vetoriais e extensão de uma base de um subespaço até uma base do espaço todo.

Passo 2

Para achar geradores de F, escrevemos a equação x - y + z = 0 como
x = y - z.
Logo
F = \{(y - z,\,y,\,z)\mid y,z\in\mathbb{R}\} = y\,(1,1,0) \;+\; z\,(-1,0,1).

Passo 3

Das expressões acima vemos que os vetores
u_{1} = (1,1,0), \quad u_{2} = (-1,0,1)
geram F e são linearmente independentes, logo formam uma base de F.

Passo 4

Para completar até uma base de \mathbb{R}^{3}, escolhemos um vetor u_{3}\notin F. Por exemplo,
u_{3} = (1,0,0).
De fato, em u_{3} temos 1-0+0=1\neq0, então u_{3}\notin F.
Basta verificar que \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é L.I. em \mathbb{R}^{3} (por exemplo, calcular o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores e obter valor não nulo).

Resposta

u_{1} = (1,1,0), \quad u_{2} = (-1,0,1), \quad u_{3} = (1,0,0)
é uma base de \mathbb{R}^{3} com u_{1},u_{2}\in F.

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