( \mathbf{1 , 5} ponto) Determine os vetores u, v \in \mathbb{R}^{4} sabendo que as coordenadas de u são todas iguais, a última coordenada de v é igual a 3 e u+v=(4,3,2,1).

Passo 1

O enunciado pede para achar vetores u,v\in\mathbb{R}^{4} tais que:
  1. Todas as coordenadas de u são iguais.
  2. A última coordenada de v vale 3.
  3. u+v=(4,3,2,1).
    Vamos usar a definição de soma de vetores em \mathbb{R}^{4}, que se faz coordenada a coordenada.

Passo 2

Sejam
u=(a,a,a,a),
pois todas as coordenadas de u são iguais, e
v=(v_{1},v_{2},v_{3},3),
já que a última coordenada de v é 3.

Passo 3

Como u+v=(4,3,2,1), igualamos coordenada a coordenada:
Para a 4ª coordenada:
a + 3 = 1
Logo
a = 1 - 3 = -2.
Para as três primeiras coordenadas:
a + v_{1} = 4 \implies v_{1}=4 - a = 4 - (-2)=6,
a + v_{2} = 3 \implies v_{2}=3 - (-2)=5,
a + v_{3} = 2 \implies v_{3}=2 - (-2)=4.

Passo 4

Substituindo a=-2 nos vetores parametrizados, obtemos
u=(-2,-2,-2,-2),
v=(6,5,4,3).

Resposta

u=(-2,-2,-2,-2) v=(6,5,4,3)

Exercícios relacionados