Questão 15

Determine o diâmetro de uma adutora, por gravidade, de 850 m de comprimento, ligando dois reservatórios mantidos em níveis constantes, com diferença de cotas de 17,5 \mathrm{~m}, para transportar uma vazão de água de 30 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. O material da tubulação é aço galvanizado com costura, novo, \varepsilon=0,15 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o diâmetro de uma adutora por gravidade. Dados fornecidos (vou listá-los todos):
L = 850\\ \mathrm{m} (comprimento da tubulação)
\Delta z = 17,5\\ \mathrm{m} (diferença de cotas entre os reservatórios — energia disponível para vencer as perdas)
Q = 30\\ \mathrm{L/s} = 0,03\\ \mathrm{m^3/s} (vazão a transportar)
\varepsilon = 0,15\\ \mathrm{mm} = 0,00015\\ \mathrm{m} (rugosidade absoluta do aço galvanizado novo)
O que se pede: o diâmetro interno D da tubulação que permita que a vazão Q flua apenas com a energia fornecida pela diferença de cotas \Delta z (assumimos que perdas secundárias são desprezíveis, ou que \Delta z já considera elas).

Passo 2

Modelo físico e equação fundamental que vamos usar (explicadinho):
Para escoamento em conduta cheia por gravidade entre dois reservatórios, a perda de carga distribuída pela tubulação deve ser igual à diferença de cotas disponível. Usamos a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga distribuída \,h_f:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}
onde:
  • h_f é a perda de carga (m),
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento da tubulação (m),
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m),
  • V é a velocidade média do escoamento (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2}).
Para escoamento entre reservatórios mantidos em níveis constantes, assumimos que toda a diferença de cotas é gasta nas perdas: \Delta z = h_f. Assim a equação que define D é
\Delta z = f(D)\,\frac{L}{D}\,\frac{V(D)^2}{2g}.
Além disso, a velocidade média V é relacionada à vazão Q por
V = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2}.
O fator de atrito f depende de duas coisas: o número de Reynolds \mathrm{Re} (quantifica regime laminar/turbulento) e a rugosidade relativa \varepsilon / D. O número de Reynolds é
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática da água. Vou assumir temperatura ambiente e usar \nu = 1,00\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (valor usual a 20^\circ\mathrm{C}). Se a água estiver muito quente/fria o valor muda, mas essa é a prática usual em problemas de prova.

Passo 3

Escolha da fórmula para f e justificativa:
A equação de Colebrook–White dá f implicitamente em função de \mathrm{Re} e \varepsilon/D, mas é implícita e exige iteração. Para agilizar, uso a aproximação explícita de Swamee–Jain, muito usada em engenharia, que é adequada para escoamentos turbulentos (e aqui esperamos \mathrm{Re} grande). A fórmula de Swamee–Jain é:
f = \frac{0,25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3,7D} + \dfrac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\right)\right]^2}.
Explico as variáveis:
  • \varepsilon = rugosidade absoluta (m),
  • D = diâmetro (m),
  • \mathrm{Re} = número de Reynolds (adimensional).
Método prático: vamos escolher um valor inicial de D, calcular V e \mathrm{Re}, calcular f via Swamee–Jain, depois calcular h_f via Darcy–Weisbach. Se h_f > \Delta z temos perda maior que a disponível (portanto D é muito pequeno); se h_f < \Delta z temos D grande demais. Ajustamos D até h_f \approx \Delta z. Isso é iteração simples — frequente em prova.

Passo 4

Constantes numéricas que vamos usar:
Q = 0,03\\ \mathrm{m^3/s},\quad L = 850\\ \mathrm{m},\quad \Delta z = 17,5\\ \mathrm{m},
\varepsilon = 0,00015\\ \mathrm{m},\quad \nu = 1,00\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},\quad g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
Fórmulas resumo para cada tentativa com um dado D:
V = \frac{4Q}{\pi D^2},
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu} = \frac{4Q}{\pi \nu D},
f = \frac{0,25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3,7D} + \dfrac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\right)\right]^2},
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Vamos aplicar essas expressões em algumas tentativas e convergir para D.

Passo 5

Primeira tentativa: D = 0,10\\ \mathrm{m}.
Calcule V:
V = \frac{4\cdot 0,03}{\pi\cdot (0,10)^2} = \frac{0,12}{0,0314159} \approx 3,820\\ \mathrm{m/s}.
Calcule \mathrm{Re}:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu} = \frac{3,820\cdot 0,10}{1,00\times10^{-6}} \approx 3,82\times 10^{5}.
Calcule f por Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3,7D} = \frac{0,00015}{3,7\cdot 0,10} \approx 4,05\times 10^{-4},
\frac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}} \approx \frac{5,74}{(3,82\times10^5)^{0,9}} \approx 5,42\times10^{-5},
f \approx \frac{0,25}{\big[\log_{10}(4,05\times10^{-4}+5,42\times10^{-5})\big]^2} \approx 0,02245.
Calcule h_f:
\frac{V^2}{2g} = \frac{(3,820)^2}{2\cdot 9,81} \approx 0,744\\ \mathrm{m},
h_f = 0,02245\cdot\frac{850}{0,10}\cdot 0,744 \approx 141,9\\ \mathrm{m}.
Conclusão: h_f \gg \Delta z. Assim D=0,10\\ \mathrm{m} é muito pequeno (perdas muito grandes).

Passo 6

Segunda tentativa: D = 0,30\\ \mathrm{m} (apenas para ver comportamento).
Calcule V:
V = \frac{4\cdot 0,03}{\pi\cdot (0,30)^2} \approx 0,424\\ \mathrm{m/s}.
\mathrm{Re}:
\mathrm{Re} \approx \frac{0,424\cdot 0,30}{1,00\times10^{-6}} \approx 1,27\times10^{5}.
f (Swamee–Jain):
\frac{\varepsilon}{3,7D} \approx \frac{0,00015}{3,7\cdot0,30} \approx 1,35\times10^{-4},
\frac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}} \approx 1,46\times10^{-4},
f \approx 0,0198.
Calcule h_f:
\frac{V^2}{2g} \approx \frac{(0,424)^2}{19,62} \approx 0,00918\\ \mathrm{m},
h_f = 0,0198\cdot\frac{850}{0,30}\cdot 0,00918 \approx 0,52\\ \mathrm{m}.
Conclusão: h_f \ll \Delta z. Assim D=0,30\\ \mathrm{m} é muito grande. Portanto, a solução está entre 0,10\\ \mathrm{m} e 0,30\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Refinando: tentativa D = 0,14\\ \mathrm{m}.
Calcule V:
V = \frac{4\cdot 0,03}{\pi\cdot (0,14)^2} \approx 1,948\\ \mathrm{m/s}.
\mathrm{Re}:
\mathrm{Re} \approx \frac{1,948\cdot 0,14}{1,00\times10^{-6}} \approx 2,727\times10^{5}.
f:
\frac{\varepsilon}{3,7D} \approx \frac{0,00015}{3,7\cdot0,14} \approx 2,90\times10^{-4},
\frac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}} \approx 7,39\times10^{-5},
f \approx 0,02114.
h_f:
\frac{V^2}{2g} \approx \frac{(1,948)^2}{19,62} \approx 0,1935\\ \mathrm{m},
h_f = 0,02114\cdot\frac{850}{0,14}\cdot 0,1935 \approx 24,8\\ \mathrm{m}.
Conclusão: h_f > \Delta z. Logo D deve ser maior que 0,14\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Tentativa D = 0,16\\ \mathrm{m}.
Calcule V:
V = \frac{4\cdot 0,03}{\pi\cdot (0,16)^2} \approx 1,491\\ \mathrm{m/s}.
\mathrm{Re}:
\mathrm{Re} \approx \frac{1,491\cdot 0,16}{1,00\times10^{-6}} \approx 2,386\times10^{5}.
f:
\frac{\varepsilon}{3,7D} \approx \frac{0,00015}{3,7\cdot0,16} \approx 2,53\times10^{-4},
\frac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}} \approx 8,32\times10^{-5},
f \approx 0,02073.
h_f:
\frac{V^2}{2g} \approx \frac{(1,491)^2}{19,62} \approx 0,1133\\ \mathrm{m},
h_f = 0,02073\cdot\frac{850}{0,16}\cdot 0,1133 \approx 12,48\\ \mathrm{m}.
Conclusão: h_f < \Delta z. Portanto a solução está entre 0,14\\ \mathrm{m} e 0,16\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Tentativa intermediária final: D = 0,15\\ \mathrm{m}.
Calcule V:
V = \frac{4\cdot 0,03}{\pi\cdot (0,15)^2} \approx 1,698\\ \mathrm{m/s}.
\mathrm{Re}:
\mathrm{Re} \approx \frac{1,698\cdot 0,15}{1,00\times10^{-6}} \approx 2,547\times10^{5}.
f:
\frac{\varepsilon}{3,7D} \approx \frac{0,00015}{3,7\cdot0,15} \approx 2,70\times10^{-4},
\frac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}} \approx 7,83\times10^{-5},
f \approx 0,02091.
h_f:
\frac{V^2}{2g} \approx \frac{(1,698)^2}{19,62} \approx 0,14696\\ \mathrm{m},
h_f = 0,02091\cdot\frac{850}{0,15}\cdot 0,14696 \approx 17,42\\ \mathrm{m}.
Resultado: h_f \approx 17,42\\ \mathrm{m}, muito próximo de \Delta z = 17,5\\ \mathrm{m}. Precisamos de um ajuste pequeno.

Passo 10

Ajuste fino: tentativa D = 0,149\\ \mathrm{m}.
Calcule V:
V = \frac{4\cdot 0,03}{\pi\cdot (0,149)^2} \approx 1,721\\ \mathrm{m/s}.
\mathrm{Re}:
\mathrm{Re} \approx \frac{1,721\cdot 0,149}{1,00\times10^{-6}} \approx 2,562\times10^{5}.
f:
\frac{\varepsilon}{3,7D} \approx \frac{0,00015}{3,7\cdot0,149} \approx 2,72\times10^{-4},
\frac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}} \approx 7,81\times10^{-5},
f \approx 0,02095.
h_f:
\frac{V^2}{2g} \approx \frac{(1,721)^2}{19,62} \approx 0,1509\\ \mathrm{m},
h_f = 0,02095\cdot\frac{850}{0,149}\cdot 0,1509 \approx 18,03\\ \mathrm{m}.
Agora temos h_f \approx 18,03\\ \mathrm{m}, ligeiramente acima de \Delta z. Entre D=0,149 (h_f maior) e D=0,15 (h_f menor) existe a solução exata. Fazendo interpolação linear simples entre estes valores obtemos:
D \approx 0,149 + \frac{17,5 - 18,03}{17,42 - 18,03}\cdot(0,15 - 0,149) \approx 0,14987\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática, D \approx 0,150\\ \mathrm{m} (ou 150\\ \mathrm{mm}).

Passo 11

Interpretação final e observação prática:
  • O valor calculado é o diâmetro hidráulico interno requerido para que, com a rugosidade dada e a viscosidade assumida, a perda distribuída iguale a diferença de cotas.
  • Em projeto real escolhe-se normalmente um diâmetro comercial um pouco maior ou igual ao calculado para permitir margens, depósitos e eventuais perdas localizadas. Aqui o resultado técnico é D\approx 0,15\\ \mathrm{m}, que corresponde a um tubo comercial de 150\\ \mathrm{mm}.

Resposta

D \approx 0,150\\ \mathrm{m} (aproximadamente 150\\ \mathrm{mm}).

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