Questão 15
Determine o diâmetro de uma adutora, por gravidade, de 850 m de comprimento, ligando dois reservatórios mantidos em níveis constantes, com diferença de cotas de
, para transportar uma vazão de água de
. O material da tubulação é aço galvanizado com costura, novo,
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o diâmetro de uma adutora por gravidade. Dados fornecidos (vou listá-los todos):
O que se pede: o diâmetro interno
da tubulação que permita que a vazão
flua apenas com a energia fornecida pela diferença de cotas
(assumimos que perdas secundárias são desprezíveis, ou que
já considera elas).
Passo 2
Modelo físico e equação fundamental que vamos usar (explicadinho):
Para escoamento em conduta cheia por gravidade entre dois reservatórios, a perda de carga distribuída pela tubulação deve ser igual à diferença de cotas disponível. Usamos a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga distribuída
:
onde:
-
é a perda de carga (m), -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento da tubulação (m), -
é o diâmetro interno da tubulação (m), -
é a velocidade média do escoamento (m/s), -
é a aceleração da gravidade ( ).
Para escoamento entre reservatórios mantidos em níveis constantes, assumimos que toda a diferença de cotas é gasta nas perdas:
. Assim a equação que define
é
Além disso, a velocidade média
é relacionada à vazão
por
O fator de atrito
depende de duas coisas: o número de Reynolds
(quantifica regime laminar/turbulento) e a rugosidade relativa
. O número de Reynolds é
onde
é a viscosidade cinemática da água. Vou assumir temperatura ambiente e usar
(valor usual a
). Se a água estiver muito quente/fria o valor muda, mas essa é a prática usual em problemas de prova.
Passo 3
Escolha da fórmula para
e justificativa:
A equação de Colebrook–White dá
implicitamente em função de
e
, mas é implícita e exige iteração. Para agilizar, uso a aproximação explícita de Swamee–Jain, muito usada em engenharia, que é adequada para escoamentos turbulentos (e aqui esperamos
grande). A fórmula de Swamee–Jain é:
Explico as variáveis:
-
= rugosidade absoluta (m), -
= diâmetro (m), -
= número de Reynolds (adimensional).
Método prático: vamos escolher um valor inicial de
, calcular
e
, calcular
via Swamee–Jain, depois calcular
via Darcy–Weisbach. Se
temos perda maior que a disponível (portanto
é muito pequeno); se
temos
grande demais. Ajustamos
até
. Isso é iteração simples — frequente em prova.
Passo 4
Constantes numéricas que vamos usar:
Fórmulas resumo para cada tentativa com um dado
:
Vamos aplicar essas expressões em algumas tentativas e convergir para
.
Passo 5
Primeira tentativa:
.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
por Swamee–Jain:
Calcule
:
Conclusão:
. Assim
é muito pequeno (perdas muito grandes).
Passo 6
Segunda tentativa:
(apenas para ver comportamento).
Calcule
:
Calcule
:
Conclusão:
. Assim
é muito grande. Portanto, a solução está entre
e
.
Passo 7
Refinando: tentativa
.
Calcule
:
Conclusão:
. Logo
deve ser maior que
.
Passo 8
Tentativa
.
Calcule
:
Conclusão:
. Portanto a solução está entre
e
.
Passo 9
Tentativa intermediária final:
.
Calcule
:
Resultado:
, muito próximo de
. Precisamos de um ajuste pequeno.
Passo 10
Ajuste fino: tentativa
.
Calcule
:
Agora temos
, ligeiramente acima de
. Entre
(h_f maior) e
(h_f menor) existe a solução exata. Fazendo interpolação linear simples entre estes valores obtemos:
Arredondando de forma prática,
(ou
).
Passo 11
Interpretação final e observação prática:
- O valor calculado é o diâmetro hidráulico interno requerido para que, com a rugosidade dada e a viscosidade assumida, a perda distribuída iguale a diferença de cotas.
- Em projeto real escolhe-se normalmente um diâmetro comercial um pouco maior ou igual ao calculado para permitir margens, depósitos e eventuais perdas localizadas. Aqui o resultado técnico é
, que corresponde a um tubo comercial de .