Questão 16

Em uma adutora de diâmetro 150 mm , feita de aço soldado novo, \varepsilon=0,10 \mathrm{~mm}, enterrada, está ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos, A e B, distanciados de 500 m . No ponto A, a cota piezométrica é de 657,58 \mathrm{~m} e a vazão é de 38,88 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. No ponto B, a cota piezométrica é de 643,43 \mathrm{~m} e a vazão é de 31,1 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. A que distância do ponto A está localizado o vazamento? Repita o cálculo, utilizando a fórmula de Hazen-Williams.

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede.\n
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):\n
\;D=150\\ \mathrm{mm}=0,150\\ \mathrm{m}\n
\;\varepsilon=0,10\\ \mathrm{mm}=0,00010\\ \mathrm{m}\n
\;\text{distância total }AB=500\\ \mathrm{m}â\n
\;\text{ponto A: cota piezométrica }H_A=657,58\\ \mathrm{m},\;Q_A=38,88\\ \mathrm{L/s}é\n
\;\text{ponto B: cota piezométrica }H_B=643,43\\ \mathrm{m},\;Q_B=31,1\\ \mathrm{L/s}é\n
O que se pede:\n
  • Encontrar a que distância do ponto A está localizado o vazamento (ou seja, a posição x medida a partir de A, ao longo da tubulação), usando o modelo de Darcy–Weisbach.\n
  • Repetir o cálculo usando a fórmula de Hazen–Williams (para isto vou assumir um valor típico do coeficiente de Hazen–Williams para aço novo, C=140; explico e justifico esse valor no passo correspondente).

Passo 2

Converter unidades e calcular vazão do vazamento.\n
Converter vazões para \mathrm{m^3/s}:\n
\;Q_A=38,88\\ \mathrm{L/s}=0,03888\\ \mathrm{m^3/s}\n
\;Q_B=31,1\\ \mathrm{L/s}=0,03110\\ \mathrm{m^3/s}\n
Vazão que sai pelo vazamento (diferença entre A e B):\n
Q_\text{vaz} = Q_A - Q_B = 0,03888 - 0,03110 = 0,00778\\ \mathrm{m^3/s}.
Este Q_\text{vaz} é só para informação; a equação que usaremos é baseada nas perdas de carga entre A e B.

Passo 3

Princípio físico e equação geral a usar (Darcy–Weisbach).\n
A cota piezométrica diminui devido às perdas por atrito. Para um ponto de vazamento localizado a distância x de A (logo a distância de B é 500-x), o trecho A\rightarrow L tem vazão Q_A e o trecho L\rightarrow B tem vazão Q_B. A diferença de cota entre A e B deve ser igual à soma das perdas de carga nos dois trechos:\n
H_A-H_B = h_{f,AL} + h_{f,LB}.
Para cada trecho usamos a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito (adimensional), L é o comprimento do trecho, D é o diâmetro, V é a velocidade média e g a aceleração da gravidade. Vou calcular f com a fórmula explícita de Swamee–Jain, adequada para escoamento turbulento (explico na prática abaixo).

Passo 4

Área da seção, velocidades médias nos trechos e conversão de constantes.\n
Área da seção transversal:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0,150)^2}{4} \approx 0,01767\\ \mathrm{m^2}.
Velocidades médias correspondentes a Q_A e Q_B:
V_A=\frac{Q_A}{A}=\frac{0,03888}{0,01767}\approx 2,20\\ \mathrm{m/s},
V_B=\frac{Q_B}{A}=\frac{0,03110}{0,01767}\approx 1,76\\ \mathrm{m/s}.
Constante gravitacional usada: \;g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Cálculo do número de Reynolds e verificação do regime de escoamento.\n
O número de Reynolds é \; \mathrm{Re}=\dfrac{V D}{\nu}. Vou usar \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (água a temperatura ambiente).\n
\mathrm{Re}_A=\frac{2{,}20\cdot 0{,}150}{1{,}0\times10^{-6}}\approx 3{,}30\times10^{5},
\mathrm{Re}_B=\frac{1{,}76\cdot 0{,}150}{1{,}0\times10^{-6}}\approx 2{,}64\times10^{5}.
Ambos estão bem acima de 4000: regime turbulento. Portanto usar Swamee–Jain/Colebrook é apropriado.

Passo 6

Fator de atrito por Swamee–Jain (fórmula explícita) e cálculo de f_A e f_B.\n
A fórmula de Swamee–Jain (válida para escoamento totalmente turbulento) é:
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2},
onde \varepsilon é a rugosidade absoluta da parede e \mathrm{Re} o número de Reynolds.\n
Calcular a rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0{,}00010}{0{,}150}=0{,}0006667.
Agora f para os dois trechos (uso os valores calculados de V e \mathrm{Re}) — apresento os valores numéricos já avaliados:\n
\;f_A\approx 0{,}01912\n
\;f_B\approx 0{,}01936\n
(esses valores vêm da aplicação direta da fórmula de Swamee–Jain com os \mathrm{Re} e \varepsilon/D dados; são coerentes com tubos de aço novo em escoamento turbulento moderado).

Passo 7

Expressar as perdas de carga nos dois trechos como coeficientes multiplicando os comprimentos e calcular esses coeficientes.\n
Para o trecho A\rightarrow L (comprimento x, velocidade V_A, fator f_A):
h_{f,AL} = f_A\frac{x}{D}\frac{V_A^2}{2g} = \left(f_A\frac{1}{D}\frac{V_A^2}{2g}\right)\,x.
Calcule o coeficiente multiplicador por metro:
k_A = f_A\frac{1}{D}\frac{V_A^2}{2g}.
Numéricamente:
\frac{V_A^2}{2g}=\frac{(2{,}20)^2}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}2467\\ \mathrm{m},
k_A = 0{,}01912\cdot\frac{1}{0{,}150}\cdot 0{,}2467 \approx 0{,}03144\\ \frac{\mathrm{m\;carga}}{\mathrm{m\;tubo}}.
Para o trecho L\rightarrow B (comprimento 500-x):
\frac{V_B^2}{2g}=\frac{(1{,}76)^2}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}1580\\ \mathrm{m},
k_B = f_B\frac{1}{D}\frac{V_B^2}{2g} = 0{,}01936\cdot\frac{1}{0{,}150}\cdot 0{,}1580 \approx 0{,}02038\\ \frac{\mathrm{m\;carga}}{\mathrm{m\;tubo}}.

Passo 8

Montar a equação para a diferença de piezômetros e resolver para x (Darcy–Weisbach).\n
A equação da conservação de energia entre A e B (ignorando outras perdas locais) é:
H_A-H_B = k_A\,x + k_B\,(500-x).
Substituir números conhecidos: H_A-H_B=657{,}58-643{,}43=14{,}15\\ \mathrm{m}.\n
14{,}15 = 0{,}03144\,x + 0{,}02038\,(500-x).
Resolvendo:
14{,}15 = (0{,}03144-0{,}02038)\,x + 0{,}02038\cdot 500,
14{,}15 = 0{,}01106\,x + 10{,}19,
x = \frac{14{,}15 - 10{,}19}{0{,}01106} \approx \frac{3{,}96}{0{,}01106}\approx 358{,}0\\ \mathrm{m}.
Portanto, pelo método de Darcy–Weisbach (com fator de atrito obtido por Swamee–Jain), o vazamento está a aproximadamente 358{,}0\\ \mathrm{m} do ponto A (ou seja, a cerca de 500-358{,}0=142{,}0\\ \mathrm{m} de B).

Passo 9

Preparação para repetir o cálculo com Hazen–Williams e justificativa de parâmetros.\n
A fórmula de Hazen–Williams é empírica e escrita, na forma prática para perda de carga em metros, como:
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}},
onde h_f está em metros, L em metros, Q em \mathrm{m^3/s}, D em metros, e C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional).\n
O enunciado não forneceu C. Para aço soldado novo é comum usar C\approx 140 (tubo novo e liso). Vou usar C=140 e explicitar isso como hipótese necessária para aplicar Hazen–Williams.

Passo 10

Calcular os termos necessários na fórmula de Hazen–Williams e expressar as perdas por metro.\n
Calcular Q^{1{,}852} para cada vazão (uso os valores convertidos no passo 2):\n
Q_A^{1{,}852}\approx 0{,}00244,\qquad Q_B^{1{,}852}\approx 0{,}00161.
Calcular C^{1{,}852} com C=140 e D^{4{,}87} com D=0{,}150\\ \mathrm{m}. Numericamente obtém-se:
C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}\approx 9{,}43\times10^{3}\cdot 9{,}69\times10^{-5}\approx 0{,}914\\ (\text{valor adimensional}),
e o fator geral \dfrac{10{,}67}{C^{1{,}852}D^{4{,}87}}\approx \dfrac{10{,}67}{0{,}914}\approx 11{,}68.\n
Logo a perda por metro para cada vazão é aproximadamente:
k_A^\text{HW}=10{,}67\frac{Q_A^{1{,}852}}{C^{1{,}852}D^{4{,}87}}\approx 0{,}0285\\ \frac{\mathrm{m\;carga}}{\mathrm{m}},
k_B^\text{HW}=10{,}67\frac{Q_B^{1{,}852}}{C^{1{,}852}D^{4{,}87}}\approx 0{,}0188\\ \frac{\mathrm{m\;carga}}{\mathrm{m}}.
(Estes k^\text{HW} são análogos aos k do caso Darcy: perda por metro de trecho.)

Passo 11

Montar a equação Hazen–Williams e resolver para x.\n
A equação análoga é:
H_A-H_B = k_A^\text{HW}\,x + k_B^\text{HW}\,(500-x).
Substituindo os números:
14{,}15 = 0{,}0285\,x + 0{,}0188\,(500-x).
14{,}15 = (0{,}0285-0{,}0188)\,x + 0{,}0188\cdot 500,
14{,}15 = 0{,}0097\,x + 9{,}40,
x = \frac{14{,}15-9{,}40}{0{,}0097}\approx \frac{4{,}75}{0{,}0097}\approx 490{,}0\\ \mathrm{m}.
Portanto, usando Hazen–Williams com C=140, o vazamento ficaria a aproximadamente 490{,}0\\ \mathrm{m} do ponto A (ou seja, cerca de 10{,}0\\ \mathrm{m} de B).

Passo 12

Observações finais, interpretação e limitações (motivação para diferenças).\n
  • Os dois métodos deram resultados distintos: \approx 358{,}0\\ \mathrm{m} (Darcy–Weisbach com Swamee–Jain) e \approx 490{,}0\\ \mathrm{m} (Hazen–Williams com C=140).\n
  • Diferenças importantes podem vir de: sensibilidade do cálculo às rugosidades e ao método de cálculo do atrito, diferenças empíricas entre fórmulas (Hazen–Williams é empírica e depende fortemente do C assumido), aproximações numéricas e arredondamentos e temperatura/viscosidade reais da água.\n
  • Se precisar de maior precisão na prática, recomenda-se: medir temperatura da água (para \nu), usar valor de C mais apropriado se conhecido, ou usar Colebrook iterativo para f quando necessário. Também se deve considerar perdas localizadas se existirem (uniões, válvulas) e possíveis variações de diâmetro.\n
    Força aí — você já tem o procedimento detalhado para reproduzir na prova: converter unidades, calcular velocidades e Re, obter f, montar a equação soma das perdas e resolver para x.

Resposta

x \approx 358{,}0\\ \mathrm{m} (usando Darcy–Weisbach com Swamee–Jain para f).\n
x \approx 490{,}0\\ \mathrm{m} (usando Hazen–Williams com hipótese C=140).

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