Qual deve ser a Pressão Atmosférica em Curitiba/PR, em relação ao Nível do Mar ( 930 m ), sendo a Temperatura Local de
? Dado:
. Sabe-se que a Pressão Atmosférica ao Nível do Mar é
.
Resposta:
.
Passo 1
Enunciado resumido — o que se pede e quais dados temos:
- Pergunta: Qual deve ser a pressão atmosférica em Curitiba/PR (altura
acima do nível do mar), sabendo que a temperatura local é e que a pressão ao nível do mar é ? - Dados fornecidos:
- Resultado esperado (para conferência posterior):
.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (apresentação da equação diferencial):
- A pressão varia com a altitude por causa do equilíbrio estático entre o peso da coluna de ar e a força de pressão. Isso é descrito pela equação hidrostática:
onde: -
é a pressão (em ), -
é a altitude (em ), -
é a densidade do ar (em ), -
é a aceleração da gravidade (em ).
-
Passo 3
Relacionando densidade com pressão usando a lei dos gases ideais e preparando as unidades:
- Lei dos gases ideais (na forma molar):
que pode ser escrita para densidade como onde: -
é a massa molar (em ), -
é a constante universal dos gases (em ), -
é a temperatura absoluta (em ).
-
- Converter os dados para unidades consistentes:
Passo 4
Derivação da expressão que vamos aplicar (integração da equação hidrostática supondo atmosfera isotérmica):
- Substituindo
na equação hidrostática: - Separando variáveis:
- Integrando de
(nível do mar, pressão ) até (altura , pressão ), assumindo temperatura constante com a altitude (ismoterma):
- Isolando
: - Observação didática: essa fórmula é a chamada fórmula barométrica para atmosfera isotérmica. Ela assume que
não varia com . Em provas costuma-se usar essa hipótese quando não são dadas variações de temperatura.
Passo 5
Substituindo os valores numéricos e calculando o expoente passo a passo:
- Primeiro escrevemos a fórmula com os símbolos:
- Substituindo os valores (com
em , em , em , em ):
- Calculemos o numerador do expoente:
(observação sobre unidades:
e
, então o numerador fica em
, compatível com
.)
- Calculemos o denominador do expoente:
- Agora o quociente:
Passo 6
Cálculo do fator exponencial e da pressão final:
- Calculando a exponencial:
- Multiplicando pela pressão ao nível do mar:
- Interpretação rápida: o resultado é menor que a pressão ao nível do mar (como esperado porque subimos
). O valor obtido coincide com a resposta fornecida para conferência.