Qual deve ser a Pressão Atmosférica em Curitiba/PR, em relação ao Nível do Mar ( 930 m ), sendo a Temperatura Local de 26^{\circ} \mathrm{C} ? Dado: \mathrm{MM}_{\text {AR }} =28,98 \mathrm{~kg} / \mathrm{kmol}. Sabe-se que a Pressão Atmosférica ao Nível do Mar é 101,325 \mathrm{kPa}.
Resposta: \mathrm{p}_{\text {CTBA }}=91.101,6 \mathrm{~Pa}.

Passo 1

Enunciado resumido — o que se pede e quais dados temos:
  • Pergunta: Qual deve ser a pressão atmosférica em Curitiba/PR (altura 930\\ \mathrm{m} acima do nível do mar), sabendo que a temperatura local é 26^{\circ}\mathrm{C} e que a pressão ao nível do mar é 101{,}325\\ \mathrm{kPa}?
  • Dados fornecidos: h = 930\\ \mathrm{m}
T_{\text{local}} = 26^{\circ}\mathrm{C}
\mathrm{MM}_{\text{AR}} = 28{,}98\\ \mathrm{kg/kmol}
p_0 = 101{,}325\\ \mathrm{kPa}
  • Resultado esperado (para conferência posterior): \mathrm{p}_{\text{CTBA}}=91.101,6\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (apresentação da equação diferencial):
  • A pressão varia com a altitude por causa do equilíbrio estático entre o peso da coluna de ar e a força de pressão. Isso é descrito pela equação hidrostática: \frac{dp}{dz} = -\rho g,onde:
    • p é a pressão (em \mathrm{Pa}),
    • z é a altitude (em \mathrm{m}),
    • \rho é a densidade do ar (em \mathrm{kg/m^3}),
    • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}).

Passo 3

Relacionando densidade com pressão usando a lei dos gases ideais e preparando as unidades:
  • Lei dos gases ideais (na forma molar): pV = nR^*T,que pode ser escrita para densidade como \rho = \frac{p M}{R^* T},onde:
    • M é a massa molar (em \mathrm{kg/mol}),
    • R^* é a constante universal dos gases (em \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
    • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
  • Converter os dados para unidades consistentes: \mathrm{MM}_{\text{AR}} = 28{,}98\\ \mathrm{kg/kmol} = 0{,}02898\\ \mathrm{kg/mol}.
T = 26^{\circ}\mathrm{C} = 26 + 273{,}15 = 299{,}15\\ \mathrm{K}.
R^* = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
g = 9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2}.
p_0 = 101{,}325\\ \mathrm{kPa} = 101{,}325\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Derivação da expressão que vamos aplicar (integração da equação hidrostática supondo atmosfera isotérmica):
  • Substituindo \rho na equação hidrostática: \frac{dp}{dz} = -\frac{p M g}{R^* T}.
  • Separando variáveis: \frac{dp}{p} = -\frac{M g}{R^* T}\,dz.
  • Integrando de z=0 (nível do mar, pressão p_0) até z=h (altura h, pressão p), assumindo temperatura T constante com a altitude (ismoterma): \int_{p_0}^{p} \frac{1}{p'}\,dp' = -\int_{0}^{h} \frac{M g}{R^* T}\,dz'.
\ln\!\left(\frac{p}{p_0}\right) = -\frac{M g h}{R^* T}.
  • Isolando p: p = p_0 \exp\!\left(-\frac{M g h}{R^* T}\right).
  • Observação didática: essa fórmula é a chamada fórmula barométrica para atmosfera isotérmica. Ela assume que T não varia com z. Em provas costuma-se usar essa hipótese quando não são dadas variações de temperatura.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos e calculando o expoente passo a passo:
  • Primeiro escrevemos a fórmula com os símbolos: p = p_0 \exp\!\left(-\frac{M g h}{R^* T}\right).
  • Substituindo os valores (com M em \mathrm{kg/mol}, h em \mathrm{m}, R^* em \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T em \mathrm{K}): M = 0{,}02898\\ \mathrm{kg/mol}, \quad g = 9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2}, \quad h = 930\\ \mathrm{m},
R^* = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, \quad T = 299{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calculemos o numerador do expoente: M g = 0{,}02898\times 9{,}80665 = 0{,}284196717\\ (\mathrm{kg\cdot m/(mol\cdot s^2)}).
M g h = 0{,}284196717\times 930 = 264{,}30294681\\ (\mathrm{J/mol}).
(observação sobre unidades: \mathrm{kg\cdot m/s^2}=\mathrm{N} e N\cdot m = J, então o numerador fica em \mathrm{J/mol}, compatível com R^*T.)
  • Calculemos o denominador do expoente: R^* T = 8{,}314462618\times 299{,}15 = 2\,487{,}271492175\\ (\mathrm{J/mol}).
  • Agora o quociente: \frac{M g h}{R^* T} = \frac{264{,}30294681}{2\,487{,}271492175} \approx 0{,}106226.

Passo 6

Cálculo do fator exponencial e da pressão final:
  • Calculando a exponencial: \exp\!\left(-0{,}106226\right) \approx 0{,}899484.
  • Multiplicando pela pressão ao nível do mar: p = 101{,}325\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}899484 \approx 91{,}101{,}6\\ \mathrm{Pa}.
  • Interpretação rápida: o resultado é menor que a pressão ao nível do mar (como esperado porque subimos 930\\ \mathrm{m}). O valor obtido coincide com a resposta fornecida para conferência.

Resposta

\mathrm{p}_{\text{CTBA}}=91.101,6\\ \mathrm{Pa}

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