Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
a_{n}=\frac{2}{\sqrt{3 n-4}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência de termo geral a_{n} é convergente e, se for, calcular o limite.
A sequência dada é
a_{n}=\frac{2}{\sqrt{3 n-4}}.
Informações relevantes: n é o índice da sequência (assumimos n\in\mathbb{N}) e a expressão envolve a raiz quadrada \sqrt{3n-4}.

Passo 2

Verificação do domínio: para a raiz quadrada ser real precisamos 3n-4\ge 0. Isso dá
3n-4\ge0 \quad\Longrightarrow\quad n\ge \frac{4}{3}.
Como n é inteiro, a sequência está bem definida para n\ge 2. A partir daqui vamos estudar o comportamento quando n\to\infty.

Passo 3

Manipulação algébrica útil (fatorar n dentro da raiz): como 3n-4=n\left(3-\frac{4}{n}\right) e para n\ge2 os fatores são positivos, podemos usar \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} para escrever
\sqrt{3n-4}=\sqrt{n}\,\sqrt{3-\frac{4}{n}}.
Substituindo na expressão de a_n obtemos uma forma que separa a dependência em n:
a_{n}=\frac{2}{\sqrt{n}\,\sqrt{3-\frac{4}{n}}} =\left(\frac{2}{\sqrt{3-\frac{4}{n}}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}.

Passo 4

Usar propriedades de limites passo a passo:
  1. Primeiro observe que
\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=0,
pois uma constante dividida por n tende a zero quando n\to\infty.
  1. A função raiz quadrada é contínua em (0,\infty), então aplicando continuidade ao limite anterior temos
\lim_{n\to\infty}\sqrt{3-\frac{4}{n}}=\sqrt{3-0}=\sqrt{3}.
  1. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{3-\frac{4}{n}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
  1. Também sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0,
porque \sqrt{n}\to\infty.
  1. Como o limite do produto é o produto dos limites (quando estes existem e um é finito), temos
\lim_{n\to\infty}a_n =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{3-\frac{4}{n}}}\right)\cdot\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\right) =\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 0 = 0.

Passo 5

Interpretação e técnica para a prova (dica amiga): a ideia padrão para sequências do tipo \dfrac{\text{constante}}{\sqrt{\text{polinômio em }n}}ô é isolar um fator \sqrt{n} da raiz e usar que 1/\sqrt{n}\to0. Por exemplo, b_n=\dfrac{5}{\sqrt{7n+2}} também tende a 0 pelo mesmo raciocínio.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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