Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites. a_{n}=\frac{2}{\sqrt{3 n-4}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência de termo geral a_{n} é convergente e, se for, calcular o limite.
A sequência dada é
a_{n}=\frac{2}{\sqrt{3 n-4}}.
Informações relevantes: n é o índice da sequência (assumimos n\in\mathbb{N}) e a expressão envolve a raiz quadrada \sqrt{3n-4}.
Passo 2
Verificação do domínio: para a raiz quadrada ser real precisamos 3n-4\ge 0. Isso dá
Como n é inteiro, a sequência está bem definida para n\ge 2. A partir daqui vamos estudar o comportamento quando n\to\infty.
Passo 3
Manipulação algébrica útil (fatorar n dentro da raiz): como 3n-4=n\left(3-\frac{4}{n}\right) e para n\ge2 os fatores são positivos, podemos usar \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} para escrever
\sqrt{3n-4}=\sqrt{n}\,\sqrt{3-\frac{4}{n}}.
Substituindo na expressão de a_n obtemos uma forma que separa a dependência em n:
Interpretação e técnica para a prova (dica amiga): a ideia padrão para sequências do tipo \dfrac{\text{constante}}{\sqrt{\text{polinômio em }n}}ô é isolar um fator \sqrt{n} da raiz e usar que 1/\sqrt{n}\to0. Por exemplo, b_n=\dfrac{5}{\sqrt{7n+2}} também tende a 0 pelo mesmo raciocínio.
Resposta
A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.