Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
a_{n}=\frac{3 n^{2}}{n^{2}+n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral \displaystyle a_{n}=\frac{3 n^{2}}{n^{2}+n} e pede duas coisas: decidir se a sequência é convergente e, se for, calcular o seu limite quando n\to\infty.
Informações relevantes dadas: \displaystyle a_{n}=\frac{3 n^{2}}{n^{2}+n} para n inteiro positivo (pressuposição usual).

Passo 2

Vamos lembrar, de forma prática, o que significa uma sequência convergir e as propriedades de limites que vamos usar.
Uma sequência \displaystyle (a_n) converge para um número L se, quando n\to\infty, os termos a_n ficam arbitrariamente próximos de L. Na prática, para calcular limites usamos propriedades algébricas dos limites: soma, produto e quociente. Em particular, se \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = X e \displaystyle \lim_{n\to\infty} y_n = Y com Y\neq 0, então
\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{X}{Y}.
Também usamos que uma sequência constante tem limite igual à própria constante e que, se \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = B, então \displaystyle \lim_{n\to\infty} c\cdot b_n = c\cdot B para constante c.

Passo 3

Uma técnica padrão para limites de sequências que são razões de polinômios é dividir numerador e denominador pela maior potência de n que aparece (aqui é n^2). Faço isso passo a passo:
a_n=\frac{3 n^{2}}{n^{2}+n}=\frac{3 n^{2}/n^{2}}{(n^{2}+n)/n^{2}}=\frac{3}{1+\dfrac{1}{n}}.
Portanto escrevemos \displaystyle a_n=\frac{3}{1+\tfrac{1}{n}}.

Passo 4

Agora precisamos do limite de \displaystyle \frac{1}{n} quando n\to\infty. Intuitivamente, conforme n cresce, \tfrac{1}{n} fica cada vez menor e tende a 0. Uma justificativa simples: para n\ge 1 vale 0\le \dfrac{1}{n}\le 1 e, ao aumentar n, \dfrac{1}{n} diminui para 0; formalmente usa-se o resultado padrão \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0. Assim
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.

Passo 5

Aplicamos agora as propriedades de limites ao termo \displaystyle a_n=\frac{3}{1+\tfrac{1}{n}}. Primeiro, o numerador é a constante 3, logo seu “limite” é 3. O denominador 1+\tfrac{1}{n} tem limite 1+0=1 pela soma de limites (pois \lim 1 = 1 e \lim \tfrac{1}{n}=0). Como o limite do denominador é 1\neq 0, podemos usar a regra do quociente:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{1+\tfrac{1}{n}} = \frac{\; \lim_{n\to\infty} 3 \;}{\; \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)\;} = \frac{3}{1}=3.

Passo 6

Concluímos que a sequência \displaystyle a_n é convergente e que o seu limite quando n\to\infty é 3. Força aí — essa técnica de dividir pela maior potência de n é muito prática e aparece sempre em provas.

Resposta

Convergente: \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 3

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