Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede duas coisas: decidir se a sequência é convergente e, se for, calcular o seu limite quando
.
Informações relevantes dadas: para
inteiro positivo (pressuposição usual).
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos lembrar, de forma prática, o que significa uma sequência convergir e as propriedades de limites que vamos usar.
Uma sequência converge para um número
se, quando
, os termos
ficam arbitrariamente próximos de
. Na prática, para calcular limites usamos propriedades algébricas dos limites: soma, produto e quociente. Em particular, se
e
com
, então
Uma sequência
Também usamos que uma sequência constante tem limite igual à própria constante e que, se
, então
para constante
.
Passo 3
Uma técnica padrão para limites de sequências que são razões de polinômios é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Faço isso passo a passo:
Portanto escrevemos
.
Passo 4
Agora precisamos do limite de
quando
. Intuitivamente, conforme
cresce,
fica cada vez menor e tende a
. Uma justificativa simples: para
vale
e, ao aumentar
,
diminui para
; formalmente usa-se o resultado padrão
. Assim
Passo 5
Aplicamos agora as propriedades de limites ao termo
. Primeiro, o numerador é a constante
, logo seu “limite” é
. O denominador
tem limite
pela soma de limites (pois
e
). Como o limite do denominador é
, podemos usar a regra do quociente:
Passo 6
Concluímos que a sequência
é convergente e que o seu limite quando
é
. Força aí — essa técnica de dividir pela maior potência de
é muito prática e aparece sempre em provas.
Resposta
Convergente: