Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede para determinar se ela é convergente e, se for, calcular o limite:
Informações relevantes dadas:
- A expressão do termo geral é a razão entre dois polinômios em
. - Note que o denominador
se fatoriza como , logo é zero em (e em , mas aqui é índice de sequência). Portanto a sequência não está definida em ; normalmente trabalhamos com . - A pergunta implícita é sobre o comportamento de
quando : existe ? Se existir, qual é esse valor?
Passo 2
Estratégia clara e porquê: para sequências que são razões de polinômios em
, a técnica mais direta é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Isso nos transforma em expressões com termos do tipo
e
, cujos limites quando
são zero, o que facilita o cálculo do limite da razão. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Fazendo a divisão termo a termo obtemos:
Passo 4
Agora uso fatos básicos sobre limites elementares:
- Sabemos que
. Intuitivamente, conforme cresce, fica cada vez menor e tende a zero. - Da mesma forma
(vai a zero ainda mais rápido). - A partir dessas,
e , por propriedade do limite do produto por constante.
Passo 5
Aplico as propriedades de limites (limite de soma, diferença e quociente quando o limite do denominador é diferente de zero). Primeiro calculo os limites do numerador e do denominador separadamente:
Passo 6
Como o limite do denominador é
, posso aplicar a propriedade do quociente de limites e concluir:
Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Passo 7
Regra prática que vale em geral (para te ajudar na prova): se
com
e
polinômios, então
- se grau de
< grau de , ; - se grau de
= grau de , razão dos coeficientes líderes (aqui ); - se grau de
> grau de , (não converge finitamente).
Exemplo rápido:.
Vai dar certo na prova — respira, recapitula esse passo de dividir pelo maior grau e treina com uns exemplos rápidos.