Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
a_{n}=\frac{4 n^{2}-3 n}{n^{2}+5 n-6}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral a_{n} e pede para determinar se ela é convergente e, se for, calcular o limite:
a_{n}=\frac{4 n^{2}-3 n}{n^{2}+5 n-6}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão do termo geral é a razão entre dois polinômios em n.
  • Note que o denominador n^{2}+5n-6 se fatoriza como (n+6)(n-1), logo é zero em n=1 (e em n=-6, mas n aqui é índice de sequência). Portanto a sequência não está definida em n=1; normalmente trabalhamos com n\ge2.
  • A pergunta implícita é sobre o comportamento de a_{n} quando n\to\infty: existe \lim_{n\to\infty} a_{n}? Se existir, qual é esse valor?

Passo 2

Estratégia clara e porquê: para sequências que são razões de polinômios em n, a técnica mais direta é dividir numerador e denominador pela maior potência de n que aparece (aqui é n^{2}). Isso nos transforma em expressões com termos do tipo 1/n e 1/n^{2}, cujos limites quando n\to\infty são zero, o que facilita o cálculo do limite da razão. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Divido numerador e denominador por n^{2}. Fazendo a divisão termo a termo obtemos:
a_{n}=\frac{4 n^{2}-3 n}{n^{2}+5 n-6} = \frac{\dfrac{4 n^{2}}{n^{2}}-\dfrac{3 n}{n^{2}}}{\dfrac{n^{2}}{n^{2}}+\dfrac{5 n}{n^{2}}-\dfrac{6}{n^{2}}} = \frac{4-\dfrac{3}{n}}{1+\dfrac{5}{n}-\dfrac{6}{n^{2}}}.

Passo 4

Agora uso fatos básicos sobre limites elementares:
  • Sabemos que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. Intuitivamente, conforme n cresce, 1/n fica cada vez menor e tende a zero.
  • Da mesma forma \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0 (vai a zero ainda mais rápido).
  • A partir dessas, \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}=3\cdot 0=0 e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{6}{n^{2}}=6\cdot 0=0, por propriedade do limite do produto por constante.

Passo 5

Aplico as propriedades de limites (limite de soma, diferença e quociente quando o limite do denominador é diferente de zero). Primeiro calculo os limites do numerador e do denominador separadamente:
\lim_{n\to\infty}\left(4-\frac{3}{n}\right)=4-0=4,
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{5}{n}-\frac{6}{n^{2}}\right)=1+0-0=1.

Passo 6

Como o limite do denominador é \,1\neq 0, posso aplicar a propriedade do quociente de limites e concluir:
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(4-\frac{3}{n}\right)}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{5}{n}-\frac{6}{n^{2}}\right)} = \frac{4}{1}=4.
Portanto a sequência converge e seu limite é \,4.

Passo 7

Regra prática que vale em geral (para te ajudar na prova): se a_{n}=\dfrac{P(n)}{Q(n)} com P e Q polinômios, então
  • se grau de P < grau de Q, \lim a_{n}=0;
  • se grau de P = grau de Q, \lim a_{n}= razão dos coeficientes líderes (aqui 4/1=4);
  • se grau de P > grau de Q, |a_{n}|\to\infty (não converge finitamente).
    Exemplo rápido: \lim_{n\to\infty}\dfrac{3n^{2}+1}{6n^{2}-5}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
Vai dar certo na prova — respira, recapitula esse passo de dividir pelo maior grau e treina com uns exemplos rápidos.

Resposta

4

Exercícios relacionados