Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência de termo geral
é convergente e, se for, calcular o limite.
Informações dadas: a fórmula do termo geral para
.
Objetivo imediato: encontrar ou concluir que não existe.
Informações dadas: a fórmula do termo geral
Objetivo imediato: encontrar
Passo 2
Vou simplificar a expressão algébrica para deixá-la numa forma que facilite o cálculo do limite.
Observe que . Portanto,
Observe que
Escrevendo
, obtemos a forma conveniente
Passo 3
Vou usar uma propriedade básica de limites: se
e
com
finitos, então
. Aplicarei isso ao produto
. Para usar a propriedade preciso calcular separadamente os limites de
e de
.
Passo 4
Cálculo imediato:
pois
tende a zero quando
cresce sem limite.
Passo 5
Agora precisamos do limite
Esse é o famoso limite que define o número
. Vou justificar por etapas que esse limite existe e é igual a
.
(a) Expansão binomial: para cada
,
Escrevendo cada termo,
(b) Comparações úteis:
- Para cada
temos , porque . Assim, somando,
Logo
é sempre menor ou igual a
, então a sequência é limitada superiormente por
.
- Para qualquer
fixo com , os primeiros termos da soma binomial dão
Para cada
fixo, quando
temos
Assim, tomando limite em
dos primeiros
termos,
Como isso vale para qualquer
, fazendo
obtemos
(c) Combinando as desigualdades: já vimos que para todo
vale
, logo
. Do outro lado obtivemos
. Portanto
(Esse é um argumento clássico: comparação termo a termo na expansão binomial dá o limite.)
Passo 6
Agora aplico a propriedade do limite do produto. Temos
Como ambos os limites existem (sendo finitos), o limite do produto é o produto dos limites: