Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
a_{n}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência de termo geral \displaystyle a_{n}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}} é convergente e, se for, calcular o limite.
Informações dadas: a fórmula do termo geral \displaystyle a_{n}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}} para n\in\mathbb{N}.
Objetivo imediato: encontrar \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n} ou concluir que não existe.

Passo 2

Vou simplificar a expressão algébrica para deixá-la numa forma que facilite o cálculo do limite.
Observe que n^{n+1}=n\cdot n^{n}. Portanto,
a_{n}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}=\frac{(n+1)^{n}}{n\cdot n^{n}} =\frac{1}{n}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}.
Escrevendo \frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}, obtemos a forma conveniente
a_{n}=\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 3

Vou usar uma propriedade básica de limites: se \displaystyle x_{n}\to L e \displaystyle y_{n}\to M com L,M finitos, então \displaystyle x_{n}y_{n}\to LM. Aplicarei isso ao produto \displaystyle \frac{1}{n}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}. Para usar a propriedade preciso calcular separadamente os limites de \displaystyle \frac{1}{n} e de \displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 4

Cálculo imediato:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,
pois 1/n tende a zero quando n cresce sem limite.

Passo 5

Agora precisamos do limite
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Esse é o famoso limite que define o número e. Vou justificar por etapas que esse limite existe e é igual a e.
(a) Expansão binomial: para cada n,
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}}.
Escrevendo cada termo,
\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\cdot\frac{1}{n^{k}}.
(b) Comparações úteis:
  • Para cada k\le n temos 0\le \binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}}\le\frac{1}{k!}, porque n(n-1)\cdots(n-k+1)\le n^{k}. Assim, somando,
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\le\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\le\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e.
Logo \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} é sempre menor ou igual a e, então a sequência é limitada superiormente por e.
  • Para qualquer m fixo com 0\le m\le n, os primeiros m+1 termos da soma binomial dão
\sum_{k=0}^{m}\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} \le \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Para cada k fixo, quando n\to\infty temos
\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!\,n^{k}}\longrightarrow\frac{1}{k!}.
Assim, tomando limite em n dos primeiros m+1 termos,
\liminf_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \ge\sum_{k=0}^{m}\frac{1}{k!}.
Como isso vale para qualquer m, fazendo m\to\infty obtemos
\liminf_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\ge\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e.
(c) Combinando as desigualdades: já vimos que para todo n vale \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\le e, logo \limsup_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\le e. Do outro lado obtivemos \liminf_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\ge e. Portanto
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e.
(Esse é um argumento clássico: comparação termo a termo na expansão binomial dá o limite.)

Passo 6

Agora aplico a propriedade do limite do produto. Temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e.
Como ambos os limites existem (sendo finitos), o limite do produto é o produto dos limites:
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} =0\cdot e=0.

Resposta

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