Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
a_{n}=\frac{n^{2}}{3 n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral \displaystyle a_{n}=\frac{n^{2}}{3 n+1} e pede para determinar se essa sequência é convergente e, se for, calcular o limite.
Informações relevantes que temos: n é o índice da sequência e vamos estudar o comportamento de a_{n} quando n\to\infty. Não há outras condições ocultas no enunciado.

Passo 2

Vamos transformar a expressão de forma a comparar os crescimentos do numerador e do denominador. Dividindo numerador e denominador por n (que é válido para n\ge1) obtemos:
a_{n}=\frac{n^{2}}{3n+1}=\frac{n}{3+\frac{1}{n}}.
Explicando a conta: dividi \,n^{2} por n para obter n no numerador e dividi 3n+1 por n para obter 3+\frac{1}{n}.

Passo 3

Observemos o comportamento da parte \frac{1}{n}. É um fato básico (e fácil de visualizar) que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,
pois conforme n cresce, \frac{1}{n} fica cada vez menor e tende a zero. Aqui você pode imaginar n=10,100,1000 e ver que \frac{1}{n} vai para valores cada vez próximos de 0.

Passo 4

Usando a propriedade de limites que diz que a soma de sequências tende à soma dos limites (quando esses limites existem), do passo anterior temos
\lim_{n\to\infty}\left(3+\frac{1}{n}\right)=3+0=3.
Logo o denominador da forma transformada converge para 3, que é um número positivo e diferente de zero.

Passo 5

Agora precisamos analisar o comportamento da razão \displaystyle \frac{n}{3+\frac{1}{n}}. Note que n tende a +\infty quando n\to\infty. Para tornar isso rigoroso, façamos uma comparação simples: para todo n\ge1 temos \frac{1}{n}\le1, logo
3+\frac{1}{n}\le 4.
A partir disso segue
a_{n}=\frac{n}{3+\frac{1}{n}}\ge \frac{n}{4}.
Sabemos que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}{4}=+\infty (uma constante multiplicada por n ainda tende a +\infty). Como a_{n} é maior ou igual a uma sequência que tende a +\infty, concluímos que a_{n} também tende a +\infty. Em palavras: o numerador cresce muito mais rápido que o denominador (grau do numerador é 2 e do denominador é 1), então a sequência explode para +\infty.

Passo 6

Conclusão final do raciocínio: a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{n^{2}}{3n+1} não converge para um número finito; ela diverge para +\infty. Isso significa que, para valores grandes de n, a_{n} fica arbitrariamente grande.

Resposta

A sequência diverge para +\infty; \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

Exercícios relacionados