Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede para determinar se essa sequência é convergente e, se for, calcular o limite.
Informações relevantes que temos: é o índice da sequência e vamos estudar o comportamento de
quando
. Não há outras condições ocultas no enunciado.
Informações relevantes que temos:
Passo 2
Vamos transformar a expressão de forma a comparar os crescimentos do numerador e do denominador. Dividindo numerador e denominador por
(que é válido para
) obtemos:
Explicando a conta: dividi
por
para obter
no numerador e dividi
por
para obter
.
Passo 3
Observemos o comportamento da parte
. É um fato básico (e fácil de visualizar) que
pois conforme
cresce,
fica cada vez menor e tende a zero. Aqui você pode imaginar
e ver que
vai para valores cada vez próximos de
.
Passo 4
Usando a propriedade de limites que diz que a soma de sequências tende à soma dos limites (quando esses limites existem), do passo anterior temos
Logo o denominador da forma transformada converge para
, que é um número positivo e diferente de zero.
Passo 5
Agora precisamos analisar o comportamento da razão
. Note que
tende a
quando
. Para tornar isso rigoroso, façamos uma comparação simples: para todo
temos
, logo
A partir disso segue
Sabemos que
(uma constante multiplicada por
ainda tende a
). Como
é maior ou igual a uma sequência que tende a
, concluímos que
também tende a
. Em palavras: o numerador cresce muito mais rápido que o denominador (grau do numerador é 2 e do denominador é 1), então a sequência explode para
.
Passo 6
Conclusão final do raciocínio: a sequência
não converge para um número finito; ela diverge para
. Isso significa que, para valores grandes de
,
fica arbitrariamente grande.
Resposta
A sequência diverge para
;
.