Determine se f é continua em (0,0) nas seguintes funções: f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.
Informações relevantes fornecidas: \;1.;Valor da função no ponto: f(0,0)=1. \;2.;Fórmula de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0): \dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}. \;3.;Para decidir continuidade em (0,0) precisamos verificar se \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a f(0,0)=1.]
Passo 2
Definição prática que vamos usar: f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Então nosso objetivo é calcular (ou estimar rigorosamente) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} e comparar com 1.
Passo 3
Motivação do método: a expressão tem polinômios em x e y e tanto numerador quanto denominador são homogêneos em graus diferentes; usar coordenadas polares é uma forma sistemática de ver como a função se comporta quando (x,y) tende à origem por qualquer direção. Em coordenadas polares definimos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0^{+} (o ângulo \theta pode variar).
Passo 4
Fazendo a substituição x=r\cos\theta, y=r\sin\theta na expressão para (x,y)\neq(0,0), obtemos:
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue que r^{3}\to 0. Pelo critério do aperto (squeeze theorem), a quantidade \dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} tende a 0 quando (x,y)\to(0,0). Em símbolos,