Determine se f é continua em (0,0) nas seguintes funções:
f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
Pergunta: determinar se f é contínua em (0,0).
Informações relevantes fornecidas:
\;1.;Valor da função no ponto: f(0,0)=1.
\;2.;Fórmula de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0): \dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}.
\;3.;Para decidir continuidade em (0,0) precisamos verificar se \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a f(0,0)=1.]

Passo 2

Definição prática que vamos usar: f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Então nosso objetivo é calcular (ou estimar rigorosamente) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} e comparar com 1.

Passo 3

Motivação do método: a expressão tem polinômios em x e y e tanto numerador quanto denominador são homogêneos em graus diferentes; usar coordenadas polares é uma forma sistemática de ver como a função se comporta quando (x,y) tende à origem por qualquer direção. Em coordenadas polares definimos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0^{+} (o ângulo \theta pode variar).

Passo 4

Fazendo a substituição x=r\cos\theta, y=r\sin\theta na expressão para (x,y)\neq(0,0), obtemos:
x^{2}y^{3}= (r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta)^{3}= r^{5}\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta,
e
2x^{2}+y^{2}=2(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}= r^{2}\bigl(2\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{5}\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta}{r^{2}\bigl(2\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr)} = r^{3}\cdot \frac{\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta}{2\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}.

Passo 5

Análise do fator angular. Defina
g(\theta)=\frac{\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta}{2\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}.
Vamos obter uma desigualdade uniforme em \theta para |g(\theta)|.
Primeiro note que
2\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 1+\cos^{2}\theta,
pois \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta. Assim
1\le 2\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta \le 2,
porque 0\le\cos^{2}\theta\le 1. Logo o denominador é sempre entre 1 e 2, nunca é zero.
Para o numerador em módulo temos |\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta|\le 1, pois |\cos\theta|\le 1 e |\sin\theta|\le 1. Combinando essas observações,
\bigl|g(\theta)\bigr| = \frac{|\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta|}{2\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta} \le \frac{1}{1}=1.
Portanto para todo \theta vale \bigl|g(\theta)\bigr|\le 1.

Passo 6

Usando a expressão obtida no Passo 4 e a cota do Passo 5 temos, para todo (x,y)\neq(0,0) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\left|\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}\right| = r^{3}\,|g(\theta)| \le r^{3}.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue que r^{3}\to 0. Pelo critério do aperto (squeeze theorem), a quantidade \dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} tende a 0 quando (x,y)\to(0,0). Em símbolos,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} = 0.

Passo 7

Comparação com o valor no ponto: f(0,0)=1. Como o limite da parte que define f fora da origem é 0 e 0\neq 1, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) \neq f(0,0).
Logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

Não; f não é contínua em (0,0), pois \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}=0\neq f(0,0)=1.

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