Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{n{3}}{n{3}+1} ]

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a sequência a_{n} dada por
a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}
é convergente e, se for, calcular o limite \lim_{n\to\infty} a_{n}.
Informações fornecidas:
  • A expressão do termo geral é \dfrac{n^{3}}{n^{3}+1}.
  • Implicito: n tende a +\infty (sequência indexada por n\in\mathbb{N}).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão para ficar mais fácil de ver o comportamento quando n\to\infty. Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de n presente (aqui n^{3}). Fazendo isso:
a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}=\frac{\dfrac{n^{3}}{n^{3}}}{\dfrac{n^{3}+1}{n^{3}}}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Essa forma é mais clara para analisar o limite, porque transforma a sequência numa função de 1/n^{3}, que tende a zero.

Passo 3

Agora precisamos saber o que acontece com \dfrac{1}{n^{3}} quando n\to\infty. Vou mostrar isso de forma bem direta: para qualquer \varepsilon>0 podemos escolher N tal que, para todo n\ge N, \dfrac{1}{n^{3}}<\varepsilon. Tomando
N=\left\lceil\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{1/3}\right\rceil,
temos, para n\ge N,
\frac{1}{n^{3}}\le\frac{1}{N^{3}}<\varepsilon.
Isso prova que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3}}=0.

Passo 4

Usamos agora propriedades básicas de limites (soma e constante): se \lim_{n\to\infty} b_{n}=0 então \lim_{n\to\infty} (1+b_{n})=1+0=1. Aplicando isso com b_{n}=\dfrac{1}{n^{3}} obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^{3}}\right)=1.

Passo 5

Para finalizar, usamos a propriedade do limite da função recíproca: se \lim_{n\to\infty} x_{n}=L e L\neq 0, então \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{x_{n}}=\dfrac{1}{L}. Aqui já vimos que \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^{3}}\right)=1 e 1\neq 0, logo podemos aplicar a regra e concluir que
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{n^{3}}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 6

Comentário didático curto (truque rápido para a prova): para razões de polinômios do mesmo grau (aqui grau 3 no numerador e no denominador), o limite quando n\to\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui os coeficientes principais são ambos 1, então o limite é 1. Esse é um atalho útil e rápido, mas a derivação que fiz acima (dividir por n^{3} e usar propriedades de limites) é a forma “segura” que sempre funciona.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=1

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