Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{n{3}}{n{3}+1} ]
[ a_{n}=\frac{n{3}}{n{3}+1} ]
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a sequência
dada por
é convergente e, se for, calcular o limite
.
Informações fornecidas:
- A expressão do termo geral é
. - Implicito:
tende a (sequência indexada por ).
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão para ficar mais fácil de ver o comportamento quando
. Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui
). Fazendo isso:
Essa forma é mais clara para analisar o limite, porque transforma a sequência numa função de
, que tende a zero.
Passo 3
Agora precisamos saber o que acontece com
quando
. Vou mostrar isso de forma bem direta: para qualquer
podemos escolher
tal que, para todo
,
. Tomando
temos, para
,
Isso prova que
Passo 4
Usamos agora propriedades básicas de limites (soma e constante): se
então
. Aplicando isso com
obtemos
Passo 5
Para finalizar, usamos a propriedade do limite da função recíproca: se
e
, então
. Aqui já vimos que
e
, logo podemos aplicar a regra e concluir que
Passo 6
Comentário didático curto (truque rápido para a prova): para razões de polinômios do mesmo grau (aqui grau
no numerador e no denominador), o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui os coeficientes principais são ambos
, então o limite é
. Esse é um atalho útil e rápido, mas a derivação que fiz acima (dividir por
e usar propriedades de limites) é a forma “segura” que sempre funciona.