Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{(n+1){n}}{n{n+1}} ]

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral \displaystyle a_{n}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}} e pede para determinar se a sequência é convergente e, se for, calcular o limite.
Informações relevantes que temos: a expressão de a_{n} para cada n\in\mathbb{N} está explícita. Não há outras hipóteses ou figuras. A única pergunta é se \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n} existe e qual é seu valor.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão de \displaystyle a_{n} para ver sua estrutura com mais clareza. Começo separando potências iguais:
a_{n}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}\cdot n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\cdot\frac{1}{n}.
Agora escrevo \frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}, então
a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot\frac{1}{n}.
Essa forma já é muito útil porque aparece o conhecido termo \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} junto com \frac{1}{n}.

Passo 3

Plano (sem calcular ainda os limites): a expressão é produto de duas sequências:
b_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\qquad\text{e}\qquad c_{n}=\frac{1}{n},
ou seja a_{n}=b_{n}\,c_{n}. Se eu souber os limites \lim_{n\to\infty}b_{n} e \lim_{n\to\infty}c_{n} (quando existirem), posso usar a propriedade de limites que diz que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem e são finitos).

Passo 4

Explico a propriedade de limites usada: se \lim_{n\to\infty}x_{n}=X e \lim_{n\to\infty}y_{n}=Y com X e Y finitos, então
\lim_{n\to\infty} (x_{n}y_{n}) = XY.
É uma propriedade básica de limites de sequências. Vou aplicá-la a b_{n} e c_{n} assim que encontrar seus limites.

Passo 5

Calculo o limite de c_{n}=\frac{1}{n}. Esse é simples: conforme n cresce, \frac{1}{n} fica cada vez menor e tende a zero. Formalmente,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Explicação rápida: para qualquer \varepsilon>0 existe N tal que para n\ge N temos \frac{1}{n}<\varepsilon; isso caracteriza a convergência para 0.

Passo 6

Agora preciso do limite de b_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}. Esse é um limite clássico e converge para a constante e (a base dos logaritmos naturais). Vou mostrar isso de forma didática usando logaritmos e um limite bem conhecido.
Defina L=\lim_{n\to\infty} b_{n} (se existir). Tome logaritmo natural:
\ln L = \lim_{n\to\infty} \ln\!\left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \right) = \lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Para avaliar esse limite, faço a substituição x=\frac{1}{n}. Quando n\to\infty temos x\to 0^{+}. Reescrevendo:
n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{\ln(1+x)}{x}\quad\text{com }x=\frac{1}{n}.
Portanto
\ln L = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(1+x)}{x}.
Esse último limite é um limite padrão: podemos aplicar a regra de L’Hospital (ou usar o desenvolvimento em série de \ln(1+x)) para ver que ele vale 1. Usando L’Hospital: numerador \ln(1+x) tem derivada \frac{1}{1+x} e denominador x tem derivada 1; avaliando em x\to 0 obtemos \frac{1}{1+0}=1. Logo
\ln L = 1 \quad\Rightarrow\quad L = e^{1}=e.
Assim ficou demonstrado que
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e.

Passo 7

Agora volto ao produto a_{n}=b_{n}c_{n}. Já tenho
\lim_{n\to\infty} b_{n} = e\qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty} c_{n} = 0.
Pela propriedade do produto de limites (Passo 4),
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \left(\lim_{n\to\infty} b_{n}\right)\cdot\left(\lim_{n\to\infty} c_{n}\right)=e\cdot 0 = 0.

Passo 8

Conclusão e observação prática para prova: mesmo que você não lembre imediatamente que \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\to e, uma alternativa rápida é notar que essa sequência é limitada por uma constante (por exemplo, sempre menor que 3 para n grande) e então usar o fato de que \frac{1}{n}\to 0 para aplicar o teorema do produto com uma sequência limitada e outra que converge a zero (produto tende a zero). Mas o resultado final é o mesmo: a_{n}\to 0.

Resposta

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