Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\frac{(n+1){n}}{n{n+1}} ]
[ a_{n}=\frac{(n+1){n}}{n{n+1}} ]
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede para determinar se a sequência é convergente e, se for, calcular o limite.
Informações relevantes que temos: a expressão de para cada
está explícita. Não há outras hipóteses ou figuras. A única pergunta é se
existe e qual é seu valor.
Informações relevantes que temos: a expressão de
Passo 2
Vamos simplificar a expressão de
para ver sua estrutura com mais clareza. Começo separando potências iguais:
Agora escrevo
, então
Essa forma já é muito útil porque aparece o conhecido termo
junto com
.
Passo 3
Plano (sem calcular ainda os limites): a expressão é produto de duas sequências:
ou seja
. Se eu souber os limites
e
(quando existirem), posso usar a propriedade de limites que diz que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem e são finitos).
Passo 4
Explico a propriedade de limites usada: se
e
com
e
finitos, então
É uma propriedade básica de limites de sequências. Vou aplicá-la a
e
assim que encontrar seus limites.
Passo 5
Calculo o limite de
. Esse é simples: conforme
cresce,
fica cada vez menor e tende a zero. Formalmente,
Explicação rápida: para qualquer
existe
tal que para
temos
; isso caracteriza a convergência para
.
Passo 6
Agora preciso do limite de
. Esse é um limite clássico e converge para a constante
(a base dos logaritmos naturais). Vou mostrar isso de forma didática usando logaritmos e um limite bem conhecido.
Defina
(se existir). Tome logaritmo natural:
Para avaliar esse limite, faço a substituição
. Quando
temos
. Reescrevendo:
Portanto
Esse último limite é um limite padrão: podemos aplicar a regra de L’Hospital (ou usar o desenvolvimento em série de
) para ver que ele vale
. Usando L’Hospital: numerador
tem derivada
e denominador
tem derivada
; avaliando em
obtemos
. Logo
Assim ficou demonstrado que
Passo 7
Agora volto ao produto
. Já tenho
Pela propriedade do produto de limites (Passo 4),
Passo 8
Conclusão e observação prática para prova: mesmo que você não lembre imediatamente que
, uma alternativa rápida é notar que essa sequência é limitada por uma constante (por exemplo, sempre menor que
para
grande) e então usar o fato de que
para aplicar o teorema do produto com uma sequência limitada e outra que converge a zero (produto tende a zero). Mas o resultado final é o mesmo:
.