Questão 15. Determine se as séries convergem.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-5)^{n+1}}{(\ln n)^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-5)^{n+1}}{(\ln n)^{n}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos não necessariamente positivos. Vamos usar o teste da raiz (ou de Cauchy) para verificar convergência absoluta, pois se a série de valores absolutos convergir, a original também converge.

Passo 2

Primeiro notamos que os termos para n=0 e n=1 não estão bem definidos (já que \ln0 e \ln1 não servem de base para a expressão). Como isso afeta apenas um número finito de termos, podemos ignorar os primeiros termos e estudar a série a partir de n=2. Convergir ou divergir nos primeiros termos não altera a convergência do conjunto infinito.

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz: consideramos
a_n = \frac{(-5)^{n+1}}{(\ln n)^{n}}
e estudamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{5^{n+1}}{(\ln n)^{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{5^{1+\frac1n}}{\ln n}.
Para n\to\infty, 5^{1+\frac1n}\to5 e \ln n\to\infty, logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} =\lim_{n\to\infty}\frac{5^{1+\frac1n}}{\ln n} =\;0.

Passo 4

Como o limite do teste da raiz é 0<1, a série de valores absolutos
\sum_{n=2}^{\infty}\bigl|a_n\bigr|
converge. Logo a série original converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge (na verdade, converge absolutamente).

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