\left(4-t^{2}\right) y^{\prime}+2 t y=3 t^{2}, \quad y(-3)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(4 - t^{2})\,y' + 2\,t\,y = 3\,t^{2},\quad y(-3)=1
Trata-se de uma EDO linear de 1º ordem. Vamos primeiro escrevê-la na forma padrão
y' + p(t)\,y = q(t).
Dividindo por 4 - t^{2}, obtemos
y' + \frac{2\,t}{4 - t^{2}}\,y = \frac{3\,t^{2}}{4 - t^{2}}.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2\,t}{4 - t^{2}}\,dt\Bigr).
Fazendo u = 4 - t^{2}, du = -2t\,dt, segue
\int \frac{2\,t}{4 - t^{2}}\,dt = -\int \frac{du}{u} = -\ln\bigl|u\bigr| + C = -\ln\bigl|4 - t^{2}\bigr| + C,
logo
\mu(t) = e^{-\ln|4 - t^{2}|} = \frac{1}{|4 - t^{2}|}.
Como usamos a condição em t=-3, em que 4 - t^{2}= -5, temos |4 - t^{2}|=t^{2}-4. Então
\mu(t)=\frac{1}{t^{2}-4}.

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t):
\frac{1}{t^{2}-4}\,y' + \frac{2\,t}{(4 - t^{2})(t^{2}-4)}\,y = \frac{3\,t^{2}}{(4 - t^{2})(t^{2}-4)}.
O lado esquerdo é \dfrac{d}{dt}\bigl[y/(t^{2}-4)\bigr]. No lado direito note que (4 - t^{2})=-(t^{2}-4), logo
\frac{3\,t^{2}}{(4 - t^{2})(t^{2}-4)} = -\frac{3\,t^{2}}{(t^{2}-4)^{2}}.
Portanto
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\frac{y}{t^{2}-4}\Bigr) = -\frac{3\,t^{2}}{(t^{2}-4)^{2}}.
Integramos em t:
\frac{y}{t^{2}-4} = \int -\frac{3\,t^{2}}{(t^{2}-4)^{2}}\,dt + C.

Passo 4

Para integrar \displaystyle\int -\frac{3\,t^{2}}{(t^{2}-4)^{2}}\,dt escrevemos
-\frac{3\,t^{2}}{(t^{2}-4)^{2}} = -\frac{3\bigl((t^{2}-4)+4\bigr)}{(t^{2}-4)^{2}} = -\frac{3}{t^{2}-4} \;-\;\frac{12}{(t^{2}-4)^{2}}.
Calcula-se separadamente cada parte e encontra-se
\int -\frac{3\,t^{2}}{(t^{2}-4)^{2}}\,dt = \frac{3}{2}\,\frac{t}{t^{2}-4} -\frac{3}{8}\,\ln\bigl|\tfrac{t-2}{t+2}\bigr| + C.
Multiplicando ambos os lados por t^{2}-4, achamos a solução geral
y(t) = \frac{3}{2}\,t -\frac{3}{8}\,(t^{2}-4)\,\ln\bigl|\tfrac{t-2}{t+2}\bigr| + C\,(t^{2}-4).

Passo 5

Impondo y(-3)=1, substituímos t=-3:
1 = \frac{3}{2}(-3) -\frac{3}{8}(9-4)\ln\!\bigl|\tfrac{-3-2}{-3+2}\bigr| + C\,(9-4).
Como \ln\bigl|\tfrac{-5}{-1}\bigr|=\ln5, isso dá
1 = -\frac{9}{2} -\frac{15}{8}\ln5 +5\,C \quad\Longrightarrow\quad 5\,C = \frac{11}{2} + \frac{15}{8}\ln5 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{11}{10} + \frac{3}{8}\ln5.

Resposta

\boxed{ y(t) = \frac{3}{2}\,t -\frac{3}{8}\,(t^{2}-4)\,\ln\!\Bigl|\tfrac{t-2}{t+2}\Bigr| +\Bigl(\frac{11}{10} + \frac{3}{8}\ln5\Bigr)\,(t^{2}-4). }

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