\left(4-t^{2}\right) y^{\prime}+2 t y=3 t^{2} . \quad y(1)=-3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(4 - t^{2}\bigr)\,y' + 2\,t\,y = 3\,t^{2},
com condição inicial y(1) = -3. O conteúdo aqui é EDO linear de 1º ordem; vamos precisar reescrever na forma padrão y' + P(t)\,y = Q(t) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividimos tudo por (4 - t^{2}) para obter a forma
y' + \frac{2\,t}{4 - t^{2}}\,y = \frac{3\,t^{2}}{4 - t^{2}}.
Aqui P(t) = \tfrac{2\,t}{4 - t^{2}} e Q(t)=\tfrac{3\,t^{2}}{4 - t^{2}}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{2\,t}{4 - t^{2}}\,dt\Bigr).
Fazendo u = 4 - t^{2}, du = -2\,t\,dt, obtemos
\int \frac{2\,t}{4 - t^{2}}\,dt = -\int \frac{du}{u} = -\ln\lvert u\rvert = -\ln\lvert 4 - t^{2}\rvert,
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\mu(t) = e^{-\ln\lvert 4 - t^{2}\rvert} = \frac{1}{4 - t^{2}}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t). O lado esquerdo vira derivada de \mu\,y:
\frac{1}{4 - t^{2}}\,y' + \frac{2\,t}{(4 - t^{2})^{2}}\,y = \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{y}{4 - t^{2}}\Bigr).
E o lado direito é
\frac{3\,t^{2}}{(4 - t^{2})^{2}}.
Assim,
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{y}{4 - t^{2}}\Bigr) = \frac{3\,t^{2}}{(4 - t^{2})^{2}}.

Passo 5

Integramos em t:
\frac{y}{4 - t^{2}} = \int \frac{3\,t^{2}}{(4 - t^{2})^{2}}\,dt + C.
Para calcular \displaystyle\int \frac{3\,t^{2}}{(4 - t^{2})^{2}}\,dt, escrevemos
3\,t^{2} = -3\,(4 - t^{2}) + 12,
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\frac{3\,t^{2}}{(4 - t^{2})^{2}} = -\frac{3}{4 - t^{2}} + \frac{12}{(4 - t^{2})^{2}}.
As primitivas conhecidas são
\int \frac{dt}{4 - t^{2}} = \frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{2 + t}{2 - t}\Bigr|, \qquad \int \frac{dt}{(4 - t^{2})^{2}} = \frac{t}{8\,(4 - t^{2})} + \frac{1}{16}\ln\Bigl|\frac{2 + t}{2 - t}\Bigr|.
Fazendo as contas, encontra-se
\int \frac{3\,t^{2}}{(4 - t^{2})^{2}}\,dt = \frac{3}{2}\,\frac{t}{4 - t^{2}} + \tilde C.

Passo 6

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\frac{y}{4 - t^{2}} = \frac{3}{2}\,\frac{t}{4 - t^{2}} + C \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{3}{2}\,t + C\,(4 - t^{2}).

Passo 7

Usamos y(1) = -3:
-3 = \frac{3}{2}\cdot 1 + C\,(4 - 1) = \frac{3}{2} + 3\,C \;\Longrightarrow\; 3\,C = -\frac{9}{2} \;\Longrightarrow\; C = -\frac{3}{2}.

Resposta

y(t) = \frac{3}{2}\,t^{2} + \frac{3}{2}\,t - 6.

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