Questão 15. Encontre uma primitiva de x^{3} \sqrt{x^{2}+4} e de \left.1 / x^{2} \sqrt{( } 25-x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas antiderivadas (primitivas):
  1. \displaystyle \int x^{3}\sqrt{x^{2}+4}\,dx
  2. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}\sqrt{25 - x^{2}}}\,dx
    O conteúdo principal aqui é técnica de substituição: primeiro uma substituição algébrica para o primeiro, depois uma substituição trigonométrica para o segundo.

Passo 2

Para
\displaystyle \int x^{3}\sqrt{x^{2}+4}\,dx, faça a substituição
u = x^{2}+4 \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx.
Note que x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx = (u-4)\frac{du}{2}. Então a integral vira
\int x^{3}\sqrt{x^{2}+4}\,dx = \int (u-4)\,\frac{du}{2}\,\sqrt{u} = \frac{1}{2}\int\bigl(u^{3/2}-4u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\frac{1}{2}\int u^{3/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}u^{5/2} = \frac{1}{5}u^{5/2}, \quad \frac{1}{2}\int 4u^{1/2}\,du = 2\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{4}{3}u^{3/2}.
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\int x^{3}\sqrt{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{5}u^{5/2}-\frac{4}{3}u^{3/2}+C = \frac{1}{5}(x^{2}+4)^{5/2}-\frac{4}{3}(x^{2}+4)^{3/2}+C.

Passo 4

Para
\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}\sqrt{25 - x^{2}}}\,dx, use substituição trigonométrica
x = 5\sin t \quad\Longrightarrow\quad dx = 5\cos t\,dt, \quad \sqrt{25 - x^{2}} = 5\cos t, \quad x^{2}=25\sin^{2}t.
Então o integrando fica
\frac{1}{x^{2}\sqrt{25 - x^{2}}}\,dx = \frac{1}{25\sin^{2}t\cdot5\cos t}\,\bigl(5\cos t\,dt\bigr) = \frac{dt}{25\sin^{2}t} = \frac{1}{25}\csc^{2}t\,dt.

Passo 5

Integramos \displaystyle \frac{1}{25}\int \csc^{2}t\,dt:
\int \csc^{2}t\,dt = -\cot t,
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\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{25 - x^{2}}}\,dx = -\frac{1}{25}\cot t + C.
Como \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{x}, voltamos a x:

Passo 6

Portanto
\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{25 - x^{2}}}\,dx = -\frac{1}{25}\,\frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{x} + C.

Resposta

Para as primitivas, temos:
\boxed{\int x^{3}\sqrt{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{5}(x^{2}+4)^{5/2}-\frac{4}{3}(x^{2}+4)^{3/2}+C}
\boxed{\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{25 - x^{2}}}\,dx = -\frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{25\,x}+C}

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