Questão 16. Calcule \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos t}{\sqrt{1+\sin ^{2} t}} d t e \int\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-2 x+2\right)^{-2} d x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de duas integrais diferentes. A primeira é o integral definido
\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos t}{\sqrt{1+\sin^2 t}}\,dt
e a segunda é o integral indefinido
\int\frac{x^2+1}{\bigl(x^2-2x+2\bigr)^{2}}\,dx.
Para resolver a primeira usaremos substituição trigonométrica, e para a segunda faremos completar o quadrado no denominador seguido de decomposição em termos mais simples.

Passo 2

Vamos calcular
I_1=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos t}{\sqrt{1+\sin^2 t}}\,dt.
Faça a substituição
u=\sin t,\quad du=\cos t\,dt,
e note que quando t=0 temos u=0, e quando t=\pi/2 temos u=1. Assim
I_1=\int_{u=0}^{u=1}\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}.

Passo 3

O integral
\int\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}
é a definição de \operatorname{arcsinh}u, ou seja
\int\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\operatorname{arcsinh}u=\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr).
Avaliação de 0 a 1
I_1=\Bigl[\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr)\Bigr]_{0}^{1} =\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)-\ln(0+1) =\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

Passo 4

Agora calculemos
I_2=\int\frac{x^2+1}{\bigl(x^2-2x+2\bigr)^{2}}\,dx.
Primeiro complete o quadrado no denominador:
x^2-2x+2=(x-1)^2+1.
Defina u=x-1, então du=dx e
x^2+1=(u+1)^2+1=u^2+2u+2,\qquad (x^2-2x+2)^2=\bigl(u^2+1\bigr)^2.
Logo
I_2=\int\frac{u^2+2u+2}{(u^2+1)^2}\,du.

Passo 5

Separe em três parcelas:
\frac{u^2+2u+2}{(u^2+1)^2} =\frac{u^2+1}{(u^2+1)^2}+\frac{2u}{(u^2+1)^2}+\frac{1}{(u^2+1)^2} =\frac{1}{u^2+1}+\frac{2u}{(u^2+1)^2}+\frac{1}{(u^2+1)^2}.

Passo 6

Integre cada termo:
  1. \displaystyle\int\frac{du}{u^2+1}=\arctan u.
  2. \displaystyle\int\frac{2u}{(u^2+1)^2}\,du. Faça v=u^2+1, dv=2u\,du, obtendo
\int\frac{dv}{v^2}=-\frac1v=-\frac1{u^2+1}.
  1. \displaystyle\int\frac{du}{(u^2+1)^2} é uma fórmula padrão, cujo resultado é
\frac{u}{2(u^2+1)}+\frac12\arctan u.
Somando tudo,
I_2 =\arctan u -\frac1{u^2+1} +\frac{u}{2(u^2+1)} +\frac12\arctan u +C =\frac32\arctan u +\frac{u-2}{2(u^2+1)} +C.

Passo 7

Volte à variável x, lembrando que u=x-1 e u^2+1=(x-1)^2+1=x^2-2x+2. Assim
I_2 =\frac32\arctan(x-1) +\frac{(x-1)-2}{2\bigl(x^2-2x+2\bigr)} +C =\frac32\arctan(x-1) +\frac{x-3}{2(x^2-2x+2)} +C.

Resposta

\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos t}{\sqrt{1+\sin^2 t}}\,dt=\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).
\displaystyle\int\frac{x^2+1}{\bigl(x^2-2x+2\bigr)^{2}}\,dx =\frac32\arctan(x-1) +\frac{x-3}{2(x^2-2x+2)} + C.

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