Questão 15: Seja A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & -2 & 4\end{array}\right] e 6 A^{-1}=A^{2}+p A+q I_{3}. Calcule o valor de 2 p+q.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 1 \\[3pt] 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}
e pede para achar p e q tal que
6\,A^{-1} \;=\; A^2 + p\,A + q\,I_3,
e então calcular 2p+q. Vamos usar o Teorema de Cayley–Hamilton para obter uma relação polinomial de A que nos permita expressar A^{-1}.]

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Cayley–Hamilton, calculamos o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A - \lambda I).
\chi_A(\lambda) = (1-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\\\ -2 & 4-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)\bigl((1-\lambda)(4-\lambda)+2\bigr) = (1-\lambda)(\lambda^2 -5\lambda +6) = (1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-3).
Pela teoria, A satisfaz \chi_A(A)=0, ou seja
A^3 - 6\,A^2 + 11\,A - 6\,I = 0.

Passo 3

Multiplicando a equação A^3 - 6A^2 + 11A - 6I = 0 por A^{-1}, obtemos
A^2 - 6\,A + 11\,I - 6\,A^{-1} \;=\; 0 \quad\Longrightarrow\quad 6\,A^{-1} = A^2 - 6\,A + 11\,I.

Passo 4

Comparando com a forma dada
6\,A^{-1} = A^2 + p\,A + q\,I,
vemos que
p = -6, \quad q = 11.

Passo 5

Finalmente, calculamos
2p + q = 2\cdot(-6) + 11 = -12 + 11 = -1.

Resposta

-1

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