Questão 15 - Um litro de água, inicialmente a 100^{\circ} \mathrm{C}, é totalmente vaporizado: (a) em contato com um reservatório térmico a 100^{\circ} \mathrm{C}; (b) em contato com um reservatório térmico a 200^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} calor latente de vaporização da água é de 539,6 \mathrm{cal} / \mathrm{g}. Calcule a variação total de entropia do universo devida exclusivamente ao processo de vaporização nos casos (a) e (b), e relacione os resultados com a reversibilidade ou não do nrocesso.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (lista de dados e perguntas, sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Volume de água: 1 litro de água (assumir densidade 1{,}00\\ \mathrm{g/cm^{3}} -> massa m=1000\\ \mathrm{g}).
    • Temperatura inicial da água (e temperatura de vaporização considerada): 100^\circ\mathrm{C}.
    • Calor latente de vaporização: L_v=539{,}6\\ \mathrm{cal/g}.
    • Dois casos para o reservatório térmico:
      • (a) reservatório a 100^\circ\mathrm{C};
      • (b) reservatório a 200^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a variação total de entropia do universo (devida somente ao processo de vaporização) nos casos (a) e (b).
    • Relacionar os resultados com a reversibilidade ou irreversibilidade do processo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Entropia: para um sistema que recebe calor de forma reversível, a variação de entropia é \Delta S=\int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.Aqui \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente e T é a temperatura absoluta (em kelvin) na qual o calor é trocado.
  • Para uma mudança de fase a temperatura constante, a integral simplifica para \Delta S_{\text{sistema}}=\frac{Q_{\text{rev}}}{T},onde Q_{\text{rev}} é o calor absorvido pelo sistema durante a vaporização e T é a temperatura (em \mathrm{K}) da mudança de fase.
  • A alteração de entropia do reservatório que fornece (ou recebe) calor Q é \Delta S_{\text{reservatório}}=-\frac{Q}{T_{\text{res}}},ócom T_{\text{res}} a temperatura absoluta do reservatório (o sinal negativo porque o reservatório perde calor quando o sistema ganha).
  • A variação total de entropia do universo (para este processo isolado de interesse) é \Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{reservatório}}.ó
  • Observação importante sobre temperaturas: deve-se usar temperaturas absolutas em kelvin, por exemplo 100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K} e 200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K}. Explicar por quê: porque a definição de entropia envolve 1/T e essa T é a temperatura absoluta.

Passo 3

Calcular o calor total absorvido pela água durante a vaporização (passo numérico):
  • Massa da água: m=1000\\ \mathrm{g} (peguei isso do dado de 1 litro).
  • Calor latente por grama: L_v=539{,}6\\ \mathrm{cal/g} (dado).
  • Assim o calor absorvido pela água é Q=m\,L_v=1000\times 539{,}6 = 539\,600\\ \mathrm{cal}.Explicação curta: multiplica-se a massa pelo calor por unidade de massa para obter o calor total.

Passo 4

Converter as temperaturas para kelvin (explicando o porquê):
  • Temperatura de ebulição / do sistema (água): T_{\text{água}}=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}á.
  • Temperatura do reservatório no caso (a): T_{\text{res},a}=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura do reservatório no caso (b): T_{\text{res},b}=200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K}.
    Justificativa: usar kelvin porque a fórmula de entropia exige a temperatura absoluta.

Passo 5

Caso (a) — reservatório a 100^\circ\mathrm{C}:
  • O sistema (água) absorve o calor Q a T_{\text{água}}=373{,}15\\ \mathrm{K}á. Portanto \Delta S_{\text{sistema}}=\frac{Q}{T_{\text{água}}}=\frac{539\,600}{373{,}15}\\ \mathrm{cal/K}.á
  • O reservatório fornece exatamente o mesmo calor Q e está à mesma temperatura T_{\text{res},a}=373{,}15\\ \mathrm{K}. Assim \Delta S_{\text{reservatório}}=-\frac{Q}{T_{\text{res},a}}=-\frac{539\,600}{373{,}15}\\ \mathrm{cal/K}.ó
  • Somando, \Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{reservatório}}=\frac{539\,600}{373{,}15}-\frac{539\,600}{373{,}15}=0\\ \mathrm{cal/K}.óInterpretação: a variação total de entropia do universo é nula.

Passo 6

Interpretação e relação com reversibilidade para o caso (a):
  • Resultado \Delta S_{\text{univ}}=0 indica processo termodinâmico reversível (na idealização teórica).
  • Intuição física: quando o calor é cedido a uma substância exatamente à mesma temperatura, não há gradiente térmico finito para produzir irreversibilidades por transferência de calor — é o caso idealizado de uma vaporização em equilíbrio com um reservatório à mesma temperatura. (Observação prática: no mundo real sempre há pequenas irreversibilidades, mas na termodinâmica idealizada esse processo é reversível.)

Passo 7

Caso (b) — reservatório a 200^\circ\mathrm{C}:
  • O sistema ainda absorve Q à temperatura T_{\text{água}}=373{,}15\\ \mathrm{K}á, então \Delta S_{\text{sistema}}=\frac{Q}{T_{\text{água}}}=\frac{539\,600}{373{,}15}\\ \mathrm{cal/K}.á
  • O reservatório perde Q à temperatura T_{\text{res},b}=473{,}15\\ \mathrm{K}, então \Delta S_{\text{reservatório}}=-\frac{Q}{T_{\text{res},b}}=-\frac{539\,600}{473{,}15}\\ \mathrm{cal/K}.ó
  • A variação total do universo é \Delta S_{\text{univ}}=\frac{539\,600}{373{,}15}-\frac{539\,600}{473{,}15} =539\,600\!\left(\frac{1}{373{,}15}-\frac{1}{473{,}15}\right)\\ \mathrm{cal/K}.
  • Para facilitar a conta, usar a identidade \frac{1}{373{,}15}-\frac{1}{473{,}15}=\frac{473{,}15-373{,}15}{373{,}15\times 473{,}15} =\frac{100}{373{,}15\times 473{,}15}.Calcular o denominador: 373{,}15\times 473{,}15=176\,555{,}9225\\ (\text{aprox.}).Assim \frac{1}{373{,}15}-\frac{1}{473{,}15}\approx 0{,}00056630213\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Multiplicando por Q: \Delta S_{\text{univ}}\approx 539\,600\times 0{,}00056630213\approx 305{,}58\\ \mathrm{cal/K}.
  • Conversão para unidades do SI (opcional, para intuição): 1\\ \mathrm{cal}=4{,}186\\ \mathrm{J}, portanto \Delta S_{\text{univ}}\approx 305{,}58\times 4{,}186 \approx 1\,279{,}8\\ \mathrm{J/K}.

Passo 8

Interpretação e relação com reversibilidade para o caso (b):
  • O resultado é \Delta S_{\text{univ}}>0 (positivo). Isso indica que o processo é irreversível.
  • Intuição física: o calor é fornecido por um reservatório mais quente ( 200^\circ\mathrm{C}) para a água mais fria ( 100^\circ\mathrm{C}). A transferência de calor envolve um gradiente de temperatura finito e gera produção de entropia; por isso ocorre aumento da entropia do universo. Esse aumento quantifica a irreversibilidade do processo.

Resposta

(a) \Delta S_{\text{univ}}=0\\ \mathrm{cal/K} \Rightarrow processo reversível.
(b) \Delta S_{\text{univ}}\approx 305{,}58\\ \mathrm{cal/K}\approx 1\,279{,}8\\ \mathrm{J/K} \Rightarrow processo irreversível.

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