Questão 5 - Um mol de gás ideal,com \gamma=7 / 5, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e 27^{\circ} \mathrm{C}. O gás é sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até 3 / 4 do volume inicial \mathrm{V}_{0}; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar a temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial;(iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial. (a) Desenhe o diagrama \mathrm{P}-\mathrm{V} associado; (b) Calcule o trabalho total realizado pelo gás; (c) Calcule o calor fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii); (d) Calcule as temperaturas máximas e mínimas atingidas; (e) Calcule a variação de energia interna no processo (i) + (ii).

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dados do enunciado (peguei todos esses números do enunciado):
    • Quantidade de gás: n=1 mol.
    • Constante adiabática: \gamma=\dfrac{7}{5}.
    • Pressão inicial: P_0=1\\ \text{atm} (vou usar P_0 como símbolo; quando precisar de valor em SI usarei 1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}).
    • Temperatura inicial: 27^\circ\mathrm{C}, ou seja T_0=300\\ \text{K}.
    • Volume inicial: V_0 (determinado por \,P_0V_0=nRT_0\, quando for necessário).
  • Sequência de processos:
    (i) comprimido isobaricamente (pressão constante igual à inicial P_0) até V_1=\tfrac{3}{4}V_0;
    (ii) aquecido isocoricamente (volume constante V_1) até voltar à temperatura inicial T_0;
    (iii) expandido isobáricamente até V_0 (a pressão nesse trecho será a pressão atingida no final da etapa (ii));
    (iv) resfriado isocoricamente até voltar à pressão inicial P_0 (e assim ao estado inicial).
  • O que o enunciado pede:
    (a) desenhar/descrição do diagrama P- V associado;
    (b) calcular o trabalho total realizado pelo gás no ciclo;
    (c) calcular o calor fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii) (isto é, Q_{(i)} e Q_{(ii)});
    (d) calcular as temperaturas máxima e mínima atingidas;
    (e) calcular a variação de energia interna no processo (i) + (ii).

Passo 2

Relembrando fórmulas úteis e definindo capacidades caloríficas (vamos montar as ferramentas que usamos várias vezes).
  • Lei dos gases ideais:
P V = n R T,
onde P é pressão, V volume, n número de mols, R constante dos gases ( R\approx8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}) e T temperatura em kelvin.
  • Primeira lei da termodinâmica (notação usada aqui):
Q = \Delta U + W,
onde Q é calor fornecido ao gás, \Delta U é variação da energia interna e W é trabalho realizado pelo gás (sinal positivo quando o gás realiza trabalho sobre o ambiente).
  • Para gás ideal mono ou poliatômico (no regime onde \gamma vale), a energia interna depende somente da temperatura:
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde C_V é capacidade molar a volume constante.
  • Relação entre \gamma, C_V e C_P:
\gamma=\frac{C_P}{C_V},\qquad C_P-C_V=R.
A partir daqui calculamos C_V e C_P a partir de \gamma=\tfrac{7}{5}:
C_V=\frac{R}{\gamma-1}=\frac{R}{\tfrac{7}{5}-1}=\frac{R}{\tfrac{2}{5}}=\frac{5}{2}R.
C_P=\gamma C_V=\frac{7}{5}\cdot\frac{5}{2}R=\frac{7}{2}R.
Ou seja, C_V=\tfrac{5}{2}R e C_P=\tfrac{7}{2}R. Vou usar estas no cálculo de \Delta U e de Q.

Passo 3

Estados após cada etapa — calcular temperaturas, pressões e volumes nas passagens (usando a lei dos gases ideais).
  • Estado inicial: (P_0,V_0,T_0) com T_0=300\\ \mathrm{K}.
  • Após (i) comprimido isobaricamente até V_1=\tfrac{3}{4}V_0 com P=P_0.
    Usando P_0V_0=nRT_0 e P_0V_1=nRT_1 obtemos:
T_1=\frac{P_0V_1}{nR}=T_0\frac{V_1}{V_0}=T_0\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}T_0.
Numericamente:
T_1=\frac{3}{4}\cdot300\\ \mathrm{K}=225\\ \mathrm{K}.
  • Após (ii) aquecimento a volume constante V_1 até temperatura T_0. Logo o novo estado tem (P_2,V_1,T_0). A pressão nessa etapa passa a ser
P_2=\frac{nRT_0}{V_1}=\frac{nRT_0}{\tfrac{3}{4}V_0}=\frac{4}{3}\frac{nRT_0}{V_0}=\frac{4}{3}P_0.
  • Após (iii) expansão a pressão constante P_2=\tfrac{4}{3}P_0 até V_0, a temperatura final dessa etapa é
T_3=\frac{P_2V_0}{nR}=\frac{4}{3}T_0=\frac{4}{3}\cdot300\\ \mathrm{K}=400\\ \mathrm{K}.
  • Após (iv) resfriamento a volume constante V_0 a pressão volta a P_0 e a temperatura volta a T_0. Ou seja o ciclo fecha.
Resumo numérico dos estados (vértices do ciclo):
  • Estado A (inicial): (P_0,V_0,T_0=300\\ \mathrm{K}).
  • Estado B (após i): (P_0,\tfrac{3}{4}V_0,T_1=225\\ \mathrm{K}).
  • Estado C (após ii): (\tfrac{4}{3}P_0,\tfrac{3}{4}V_0,T_0=300\\ \mathrm{K}).
  • Estado D (após iii): (\tfrac{4}{3}P_0,V_0,T_3=400\\ \mathrm{K}).

Passo 4

Desenho/descrição do diagrama P- V pedido em (a) — eu descrevo o desenho de forma prática para você desenhar na prova rapidamente.
  • Os quatro vértices no plano P- V são (usando (V,P)):
    • A: (V_0,P_0)
    • B: (\tfrac{3}{4}V_0,P_0) — deslocamento horizontal à esquerda (isobárico).
    • C: (\tfrac{3}{4}V_0,\tfrac{4}{3}P_0) — subida vertical (isocórico).
    • D: (V_0,\tfrac{4}{3}P_0) — deslocamento horizontal à direita (isobárico).
    • E (volta a A): (V_0,P_0) — descida vertical (isocórico).
  • No gráfico: é um retângulo (lados horizontais são processos isobáricos, lados verticais são processos isocóricos), com a horizontal inferior em P_0 entre V_0 e \tfrac{3}{4}V_0 e a horizontal superior em \tfrac{4}{3}P_0 entre os mesmos volumes. Sentido do ciclo: A \to B \to C \to D \to A.

Passo 5

Cálculo do trabalho realizado em cada etapa e trabalho total (item b). Lembrete: para processo isobárico W=\int P\,dV = P\Delta V; para isocórico W=0.
  • Etapa (i) isobárica P=P_0, de V_0 para V_1=\tfrac{3}{4}V_0:
W_{(i)}=P_0\,(V_1-V_0)=P_0\Big(\tfrac{3}{4}V_0-V_0\Big)=-\frac{1}{4}P_0V_0.
(Sinal negativo: nesta etapa o gás é comprimido, faz-se trabalho SOBRE o gás; trabalho realizado pelo gás é negativo.)
  • Etapa (ii) isocórica:
W_{(ii)}=0.
  • Etapa (iii) isobárica a P_2=\tfrac{4}{3}P_0, de V_1=\tfrac{3}{4}V_0 para V_0:
W_{(iii)}=P_2\,(V_0-V_1)=\frac{4}{3}P_0\Big(V_0-\tfrac{3}{4}V_0\Big)=\frac{4}{3}P_0\cdot\frac{1}{4}V_0=\frac{1}{3}P_0V_0.
  • Etapa (iv) isocórica:
W_{(iv)}=0.
  • Trabalho total realizado pelo gás no ciclo:
W_{\text{total}}=W_{(i)}+W_{(ii)}+W_{(iii)}+W_{(iv)}=-\frac{1}{4}P_0V_0+\frac{1}{3}P_0V_0=\left(-\frac{3}{12}+\frac{4}{12}\right)P_0V_0=\frac{1}{12}P_0V_0.
  • Usando P_0V_0=nRT_0=R T_0 (pois n=1):
W_{\text{total}}=\frac{1}{12}R T_0.
  • Valor numérico com R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e T_0=300\\ \mathrm{K}:
W_{\text{total}}=\frac{1}{12}\cdot8{,}314\cdot300\\ \mathrm{J}\approx207{,}9\\ \mathrm{J}\approx208\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Cálculo do calor nas etapas (i) e (ii) (item c). Usamos Q=\Delta U+W e \Delta U=n C_V\Delta T.
  • Etapa (i): \Delta T_{(i)}=T_1-T_0=\big(\tfrac{3}{4}T_0-T_0\big)=-\tfrac{1}{4}T_0. \Delta U_{(i)}=n C_V \Delta T_{(i)}=1\cdot\frac{5}{2}R\cdot\left(-\frac{1}{4}T_0\right)=-\frac{5}{8}R T_0.Já calculamos W_{(i)}=-\tfrac{1}{4}P_0V_0=-\tfrac{1}{4}R T_0. Logo Q_{(i)}=\Delta U_{(i)}+W_{(i)}=-\frac{5}{8}R T_0-\frac{1}{4}R T_0=-\frac{7}{8}R T_0.Valor numérico: Q_{(i)}=-\frac{7}{8}\cdot8{,}314\cdot300\\ \mathrm{J}\approx -2182{,}4\\ \mathrm{J}.(Sinal negativo: calor retirado do gás durante a compressão isobárica.)
  • Etapa (ii): processo isocórico do tempo T_1 a T_0: W_{(ii)}=0. \Delta T_{(ii)}=T_0-T_1=\tfrac{1}{4}T_0. \Delta U_{(ii)}=n C_V \Delta T_{(ii)}=\frac{5}{2}R\cdot\frac{1}{4}T_0=\frac{5}{8}R T_0.Logo Q_{(ii)}=\Delta U_{(ii)}=\frac{5}{8}R T_0,e numericamente Q_{(ii)}=\frac{5}{8}\cdot8{,}314\cdot300\\ \mathrm{J}\approx1558{,}9\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Temperaturas máxima e mínima atingidas (item d) — já calculadas nos estados:
  • Temperatura mínima:
T_{\min}=T_1=\frac{3}{4}T_0=\frac{3}{4}\cdot300\\ \mathrm{K}=225\\ \mathrm{K}= -48^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura máxima:
T_{\max}=T_3=\frac{4}{3}T_0=\frac{4}{3}\cdot300\\ \mathrm{K}=400\\ \mathrm{K}=127^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Variação da energia interna no processo (i)+(ii) (item e).
  • Energia interna depende apenas da temperatura para gás ideal, então a variação total de energia interna ao final das etapas (i)+(ii) é
\Delta U_{(i)+(ii)}=nC_V\big(T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}\big).
Na etapa (i) começamos em T_0 e ao final de (ii) estamos novamente em T_0. Portanto
\Delta U_{(i)+(ii)}=nC_V(T_0-T_0)=0.
  • Verificação numérica usando os valores separados:
\Delta U_{(i)}=-\frac{5}{8}R T_0,\qquad \Delta U_{(ii)}=+\frac{5}{8}R T_0,
logo somando dá zero.

Resposta

(a) Os vértices do diagrama P- V formam um retângulo: (V_0,P_0)\to(\tfrac{3}{4}V_0,P_0)\to(\tfrac{3}{4}V_0,\tfrac{4}{3}P_0)\to(V_0,\tfrac{4}{3}P_0)\to(V_0,P_0).\n
(b) W_{\text{total}}=\dfrac{1}{12}R T_0\approx207{,}9\\ \mathrm{J}\approx208\\ \mathrm{J}.\n
(c) Q_{(i)}=-\dfrac{7}{8}R T_0\approx-2182{,}4\\ \mathrm{J} e Q_{(ii)}=\dfrac{5}{8}R T_0\approx1558{,}9\\ \mathrm{J}.\n
(d) T_{\min}=T_1=\dfrac{3}{4}T_0=225\\ \mathrm{K}=-48^\circ\mathrm{C};\quad T_{\max}=T_3=\dfrac{4}{3}T_0=400\\ \mathrm{K}=127^\circ\mathrm{C}.\n
(e) \Delta U_{(i)+(ii)}=0\\ \mathrm{J}.

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