Questão 5 - Um mol de gás ideal,com
, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e
. O gás é sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até
do volume inicial
; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar a temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial;(iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial. (a) Desenhe o diagrama
associado; (b) Calcule o trabalho total realizado pelo gás; (c) Calcule o calor fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii); (d) Calcule as temperaturas máximas e mínimas atingidas; (e) Calcule a variação de energia interna no processo (i) + (ii).
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
- Dados do enunciado (peguei todos esses números do enunciado):
- Quantidade de gás:
mol. - Constante adiabática:
. - Pressão inicial:
(vou usar como símbolo; quando precisar de valor em SI usarei ). - Temperatura inicial:
, ou seja . - Volume inicial:
(determinado por quando for necessário).
- Quantidade de gás:
- Sequência de processos:
(i) comprimido isobaricamente (pressão constante igual à inicial) até ;
(ii) aquecido isocoricamente (volume constante) até voltar à temperatura inicial ;
(iii) expandido isobáricamente até(a pressão nesse trecho será a pressão atingida no final da etapa (ii));
(iv) resfriado isocoricamente até voltar à pressão inicial(e assim ao estado inicial). - O que o enunciado pede:
(a) desenhar/descrição do diagrama- associado;
(b) calcular o trabalho total realizado pelo gás no ciclo;
(c) calcular o calor fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii) (isto é,e );
(d) calcular as temperaturas máxima e mínima atingidas;
(e) calcular a variação de energia interna no processo (i) + (ii).
Passo 2
Relembrando fórmulas úteis e definindo capacidades caloríficas (vamos montar as ferramentas que usamos várias vezes).
- Lei dos gases ideais:
onde
é pressão,
volume,
número de mols,
constante dos gases (
) e
temperatura em kelvin.
- Primeira lei da termodinâmica (notação usada aqui):
onde
é calor fornecido ao gás,
é variação da energia interna e
é trabalho realizado pelo gás (sinal positivo quando o gás realiza trabalho sobre o ambiente).
- Para gás ideal mono ou poliatômico (no regime onde
vale), a energia interna depende somente da temperatura:
onde
é capacidade molar a volume constante.
- Relação entre
, e :
A partir daqui calculamos
e
a partir de
:
Ou seja,
e
. Vou usar estas no cálculo de
e de
.
Passo 3
Estados após cada etapa — calcular temperaturas, pressões e volumes nas passagens (usando a lei dos gases ideais).
- Estado inicial:
com . - Após (i) comprimido isobaricamente até
com .
Usandoe obtemos:
Numericamente:
- Após (ii) aquecimento a volume constante
até temperatura . Logo o novo estado tem . A pressão nessa etapa passa a ser
- Após (iii) expansão a pressão constante
até , a temperatura final dessa etapa é
- Após (iv) resfriamento a volume constante
a pressão volta a e a temperatura volta a . Ou seja o ciclo fecha.
Resumo numérico dos estados (vértices do ciclo):
- Estado A (inicial):
. - Estado B (após i):
. - Estado C (após ii):
. - Estado D (após iii):
.
Passo 4
Desenho/descrição do diagrama
-
pedido em (a) — eu descrevo o desenho de forma prática para você desenhar na prova rapidamente.
- Os quatro vértices no plano
- são (usando ): - A:
- B:
— deslocamento horizontal à esquerda (isobárico). - C:
— subida vertical (isocórico). - D:
— deslocamento horizontal à direita (isobárico). - E (volta a A):
— descida vertical (isocórico).
- A:
- No gráfico: é um retângulo (lados horizontais são processos isobáricos, lados verticais são processos isocóricos), com a horizontal inferior em
entre e e a horizontal superior em entre os mesmos volumes. Sentido do ciclo: A B C D A.
Passo 5
Cálculo do trabalho realizado em cada etapa e trabalho total (item b). Lembrete: para processo isobárico
; para isocórico
.
- Etapa (i) isobárica
, de para :
(Sinal negativo: nesta etapa o gás é comprimido, faz-se trabalho SOBRE o gás; trabalho realizado pelo gás é negativo.)
- Etapa (ii) isocórica:
- Etapa (iii) isobárica a
, de para :
- Etapa (iv) isocórica:
- Trabalho total realizado pelo gás no ciclo:
- Usando
(pois ):
- Valor numérico com
e :
Passo 6
Cálculo do calor nas etapas (i) e (ii) (item c). Usamos
e
.
- Etapa (i):
. Já calculamos . Logo Valor numérico: (Sinal negativo: calor retirado do gás durante a compressão isobárica.) - Etapa (ii): processo isocórico do tempo
a : . . Logo e numericamente
Passo 7
Temperaturas máxima e mínima atingidas (item d) — já calculadas nos estados:
- Temperatura mínima:
- Temperatura máxima:
Passo 8
Variação da energia interna no processo (i)+(ii) (item e).
- Energia interna depende apenas da temperatura para gás ideal, então a variação total de energia interna ao final das etapas (i)+(ii) é
Na etapa (i) começamos em
e ao final de (ii) estamos novamente em
. Portanto
- Verificação numérica usando os valores separados:
logo somando dá zero.
Resposta
(a) Os vértices do diagrama
-
formam um retângulo:
.\n
(b) .\n
(c) e
.\n
(d) ;\quad
.\n
(e) .
(b)
(c)
(d)
(e)