Questão 3 - Num país frio, a temperatura sobre a superfície de um lago caiu a
e começa se formar uma camada de gelo sobre o lago. A água sob o gelo permanece a
: o gelo flutua sobre ela e a camada de espessura crescente em formação serve como isolante térmico, levando ao crescimento gradual de novas camadas de cima para baixo.
(a) Exprima a espessura
da camada de gelo formada, decorrido um tempo
do inicio do processo de congelamento, como função da condutividade térmica
do gelo, de sua densidade
e calor latente de fusão
, bem como a diferença de temperatura
entre a água e a atmosfera do lago.
Sugestão: considere a agregação de uma camada dx à camada já existente, de espessura
integre em relação a
.
(b) No exemplo acima, calcule a espessura do gelo 1 h após iniciar-se o processo de congelamento, sabendo que
.
(a) Exprima a espessura
Sugestão: considere a agregação de uma camada dx à camada já existente, de espessura
(b) No exemplo acima, calcule a espessura do gelo 1 h após iniciar-se o processo de congelamento, sabendo que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
-
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Expressar a espessura
da camada de gelo, depois de um tempo , em função de (condutividade térmica do gelo), (densidade do gelo), (calor latente de fusão) e (diferença de temperatura entre água e atmosfera). - (b) Calcular numericamente
para usando os dados dados.
- (a) Expressar a espessura
-
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
-
. -
. -
. - Tempo pedido:
. - Temperatura da água:
. Temperatura do ar: . Portanto .
-
A partir daqui eu vou derivar a fórmula pedida e em seguida calcular o valor numérico.
Passo 2
Ideia física e definição das quantidades envolvidas (aulas rápidas e intuitivas antes da conta).
- Quando uma fina camada de gelo de espessura
já existe, o calor liberado pela água ao congelar na interface água/gelo tem de atravessar essa camada de gelo para ser perdido para a atmosfera. Em regime quasi-estacionário (perfil de temperatura quase linear no gelo), a taxa de fluxo de calor por unidade de área através do gelo é dada, pela forma simplificada da lei de Fourier, por
onde
-
é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: ), -
é a condutividade térmica do gelo, -
é a diferença de temperatura entre a água (0^\circ\mathrm{C}) e a atmosfera ( ; no geral ), -
é a espessura já formada do gelo (em ).
Explicação didática rápida: a lei de Fourier diz que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura. Aqui aproximamos o gradiente por
porque assumimos temperatura 0^\circ\mathrm{C} na base e
na superfície do gelo, dando perfil aproximadamente linear.
Passo 3
Relação entre velocidade de avanço do gelo e calor conduzido.
- Ao formar uma camada adicional
de gelo por unidade de área, libera-se uma quantidade de calor (latente) igual a
onde
-
é a densidade do gelo ( ), -
é o calor latente de fusão ( ), -
é a espessura nova formada (em ). -
A taxa de liberação de calor por unidade de área é então
(unidade: ). Em regime de balanço térmico essa taxa deve ser igual ao fluxo conduzido através do gelo:
Essa é a equação diferencial que liga a velocidade de crescimento
à espessura
.
Passo 4
Resolver a equação diferencial passo a passo.
- Escrevendo a equação obtida:
- Isolando as variáveis para integrar:
- Integrando de
(início do congelamento) até e de até :
- As integrais dão:
- Isolando
:
Explicação didática: o resultado mostra que a espessura cresce como
— comportamento típico de problemas onde a transferência de calor por condução limita a velocidade de uma fronteira em movimento (problema de Stefan simplificado).
Passo 5
Discussão curta sobre pressupostos (o que foi assumido ao usar essa fórmula).
- Pressupostos importantes: perfil de temperatura no gelo aproximadamente linear (isto é, propriedades constantes e ausência de capacidade térmica significativa do gelo durante o processo), não há perda de calor lateral, a água permanece a
na interface, e o processo é controlado por condução através do gelo. Em provas, normalmente esses pressupostos estão implícitos quando se pede essa dedução.
Passo 6
Cálculo numérico detalhado para
.
- Fórmula já obtida:
- Substituindo os valores (todos os números entre parênteses foram extraídos do enunciado):
- Calcular o numerador:
Faça a conta em etapas:
(ou diretamente
, e então vezes
dá
; depois vezes
dá
.)
Portanto
Portanto
- Calcular o denominador:
- Assim
e
- Arredondando de forma sensata (dois algarismos significativos) dá
Passo 7
Dica prática para prova (como reproduzir rápido essa resolução sob pressão):
- Escreva o balanço:
. Separe variáveis . Integre e obtenha . Em seguida substitua números e calcule com etapas (primeiro numerador, depois denominador, depois divisão e raiz quadrada). Esse roteiro compacto resolve a questão com clareza e rapidez.