Questão 3 - Num país frio, a temperatura sobre a superfície de um lago caiu a -10^{\circ} \mathrm{C} e começa se formar uma camada de gelo sobre o lago. A água sob o gelo permanece a 0^{\circ} \mathrm{C} : o gelo flutua sobre ela e a camada de espessura crescente em formação serve como isolante térmico, levando ao crescimento gradual de novas camadas de cima para baixo.
(a) Exprima a espessura l da camada de gelo formada, decorrido um tempo t do inicio do processo de congelamento, como função da condutividade térmica k do gelo, de sua densidade \rho e calor latente de fusão L, bem como a diferença de temperatura \Delta \mathrm{T} entre a água e a atmosfera do lago.
Sugestão: considere a agregação de uma camada dx à camada já existente, de espessura x, e integre em relação a x.
(b) No exemplo acima, calcule a espessura do gelo 1 h após iniciar-se o processo de congelamento, sabendo que \mathrm{k}=4 \times 10^{-3} \mathrm{cal} / \mathrm{s} . \mathrm{cm} . \mathrm{o} \mathrm{C}, \rho=0,92 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \mathrm{e} \mathrm{L}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. (a) Expressar a espessura l da camada de gelo, depois de um tempo t, em função de k (condutividade térmica do gelo), \rho (densidade do gelo), L (calor latente de fusão) e \Delta T (diferença de temperatura entre água e atmosfera).
    2. (b) Calcular numericamente l para t=1\\ \mathrm{h} usando os dados dados.
  • Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
    • \mathrm{k}=4\times10^{-3}\\ \mathrm{cal}\,/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm}\cdot^\circ\mathrm{C}).
    • \rho=0{,}92\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
    • L=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
    • Tempo pedido: t=1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
    • Temperatura da água: 0^\circ\mathrm{C}. Temperatura do ar: -10^\circ\mathrm{C}. Portanto \Delta T=0-(-10)=10^\circ\mathrm{C}.
A partir daqui eu vou derivar a fórmula pedida e em seguida calcular o valor numérico.

Passo 2

Ideia física e definição das quantidades envolvidas (aulas rápidas e intuitivas antes da conta).
  • Quando uma fina camada de gelo de espessura x já existe, o calor liberado pela água ao congelar na interface água/gelo tem de atravessar essa camada de gelo para ser perdido para a atmosfera. Em regime quasi-estacionário (perfil de temperatura quase linear no gelo), a taxa de fluxo de calor por unidade de área através do gelo é dada, pela forma simplificada da lei de Fourier, por
q=\frac{k\,\Delta T}{x},
onde
  • q é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: \mathrm{cal}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm}^2)),
  • k é a condutividade térmica do gelo,
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre a água (0^\circ\mathrm{C}) e a atmosfera ( -10^\circ\mathrm{C}; no geral \Delta T=T_{\text{água}}-T_{\text{ar}}á),
  • x é a espessura já formada do gelo (em \mathrm{cm}).
Explicação didática rápida: a lei de Fourier diz que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura. Aqui aproximamos o gradiente por \Delta T/x porque assumimos temperatura 0^\circ\mathrm{C} na base e -\Delta T na superfície do gelo, dando perfil aproximadamente linear.

Passo 3

Relação entre velocidade de avanço do gelo e calor conduzido.
  • Ao formar uma camada adicional dx de gelo por unidade de área, libera-se uma quantidade de calor (latente) igual a
\text{calor liberado por área}=\rho\,L\,dx,á
onde
  • \rho é a densidade do gelo ( \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3),
  • L é o calor latente de fusão ( \mathrm{cal}/\mathrm{g}),
  • dx é a espessura nova formada (em \mathrm{cm}).
  • A taxa de liberação de calor por unidade de área é então \rho\,L\,\dfrac{dx}{dt} (unidade: \mathrm{cal}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm}^2)). Em regime de balanço térmico essa taxa deve ser igual ao fluxo conduzido através do gelo:
\rho\,L\,\frac{dx}{dt}=q=\frac{k\,\Delta T}{x}.
Essa é a equação diferencial que liga a velocidade de crescimento dx/dt à espessura x.

Passo 4

Resolver a equação diferencial passo a passo.
  • Escrevendo a equação obtida:
\rho\,L\,\frac{dx}{dt}=\frac{k\,\Delta T}{x}.
  • Isolando as variáveis para integrar:
x\,dx=\frac{k\,\Delta T}{\rho\,L}\,dt.
  • Integrando de x=0 (início do congelamento) até x=l e de t=0 até t=t:
\int_{0}^{l} x\,dx=\int_{0}^{t}\frac{k\,\Delta T}{\rho\,L}\,dt.
  • As integrais dão:
\frac{1}{2}l^2=\frac{k\,\Delta T}{\rho\,L}\,t.
  • Isolando l:
l(t)=\sqrt{\dfrac{2\,k\,\Delta T\,t}{\rho\,L}}.
Explicação didática: o resultado mostra que a espessura cresce como \sqrt{t} — comportamento típico de problemas onde a transferência de calor por condução limita a velocidade de uma fronteira em movimento (problema de Stefan simplificado).

Passo 5

Discussão curta sobre pressupostos (o que foi assumido ao usar essa fórmula).
  • Pressupostos importantes: perfil de temperatura no gelo aproximadamente linear (isto é, propriedades constantes e ausência de capacidade térmica significativa do gelo durante o processo), não há perda de calor lateral, a água permanece a 0^\circ\mathrm{C} na interface, e o processo é controlado por condução através do gelo. Em provas, normalmente esses pressupostos estão implícitos quando se pede essa dedução.

Passo 6

Cálculo numérico detalhado para t=1\\ \mathrm{h}.
  • Fórmula já obtida:
l(t)=\sqrt{\dfrac{2\,k\,\Delta T\,t}{\rho\,L}}.
  • Substituindo os valores (todos os números entre parênteses foram extraídos do enunciado):
k=4\times10^{-3}\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm}\cdot^\circ\mathrm{C}),\quad \Delta T=10^\circ\mathrm{C},\quad t=3600\\ \mathrm{s},
\rho=0{,}92\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3,\quad L=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
  • Calcular o numerador:
2\,k\,\Delta T\,t=2\times(4\times10^{-3})\times10\times3600.
Faça a conta em etapas:
4\times10^{-3}\times3600=4\times3{,}6\times10^{3-3}=4\times3{,}6=14{,}4\times10=144.
(ou diretamente 4\times10^{-3}\cdot3600=14{,}4, e então vezes 10 144; depois vezes 2 288.)
Portanto
2\,k\,\Delta T\,t=288.
  • Calcular o denominador:
\rho\,L=0{,}92\times80=73{,}6.
  • Assim
l^2=\frac{288}{73{,}6}=3{,}913043\ldots
e
l=\sqrt{3{,}913043\ldots}=1{,}978\ldots\\ \mathrm{cm}.
  • Arredondando de forma sensata (dois algarismos significativos) dá
l\approx1{,}98\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Dica prática para prova (como reproduzir rápido essa resolução sob pressão):
  • Escreva o balanço: \rho L\,\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{k\Delta T}{x}. Separe variáveis x\,dx=\dfrac{k\Delta T}{\rho L}dt. Integre e obtenha l=\sqrt{2k\Delta T t/(\rho L)}. Em seguida substitua números e calcule com etapas (primeiro numerador, depois denominador, depois divisão e raiz quadrada). Esse roteiro compacto resolve a questão com clareza e rapidez.

Resposta

\displaystyle l(t)=\sqrt{\dfrac{2\,k\,\Delta T\,t}{\rho\,L}}
\displaystyle l(1\\ \mathrm{h})\approx1{,}98\\ \mathrm{cm}

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