Questão 15
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Nesta questão,
é uma função duas vezes diferenciável com
e
é dada pela função composta
.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
a. O gradiente de
, calculado no ponto ( 1,1 ), é colinear ao vetor
b. O vetor
não é normal ao plano tangente ao gráfico de
pelo ponto de coordenadas
c.
, para todo
d. O gradiente de
, calculado no ponto
, é colinear ao vetor
e.
, para todo
Vale 1,00 ponto(s).
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que marquemos as alternativas corretas:
- Temos
duas vezes diferenciável com (para todo ). - Definida
por . - Definida
por , isto é, . - Ponto específico mencionado:
. Note que, a partir da definição de , temos .
As alternativas a analisar são (a) a (e) listadas no enunciado.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Primeiro, expliquei a regra que vamos usar:
- Regra (cadeia para funções compostas): se
com diferenciável e diferenciável, então as derivadas parciais são
Aqui
é a derivada de
(função de uma variável) e
são as derivadas parciais de
.
Agora calcule e
:
Agora calcule
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia e os valores de
, obtemos as derivadas parciais de
:
O gradiente de
é
.
Passo 4
Avalie o gradiente no ponto
. Como
,
Logo
Isto mostra que
é um múltiplo escalar do vetor
, ou seja, é colinear ao vetor
. Conclusão: a alternativa (a) é verdadeira.
Passo 5
Checagem da alternativa (d): ela afirma que
é colinear ao vetor
. Para ser colinear precisamos que exista
tal que
Isto implica duas equações:
e
. Dividindo a primeira por
e a segunda por
dá
e
. Estas duas condições só são compatíveis se
. Como
não impede que
em um ponto isolado, mas a alternativa (d) é escrita como uma verdade geral (para todo
com
), e não é verdadeira em geral (apenas em um caso especial
). Portanto (d) é falsa.
Passo 6
Agora vamos encontrar a normal ao plano tangente ao gráfico de
no ponto
, para verificar (b). Lembrete/receita:
- Se temos a superfície dada pelo gráfico
, um vetor normal padrão é (é fácil verificar aplicando produto escalar com vetores tangentes e ).
Já calculamose . Portanto um vetor normal é
A alternativa (b) afirma que esse vetor “não é normal” — mas acabamos de obter exatamente esse vetor como normal. Logo (b) é falsa.
Passo 7
Calcule agora as derivadas segundas necessárias para analisar (c) e (e). Tomando
usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar em
:
Substituindo
obtemos
De modo análogo (simetria entre
e
) temos
Passo 8
Some as duas segundas derivadas:
Compare com a alternativa (c), que afirma
Note que
, ou seja, o segundo termo coincide com a parte
que encontramos, mas a nossa expressão tem um termo adicional
que a alternativa (c) não contém. Portanto (c) é falsa em geral (só seria verdadeira se
, o que não é garantido).
Passo 9
Agora calcule a diferença pedida em (e). Usando os resultados do Passo 7,
Dividindo por
obtemos
Agora manipule o lado direito da alternativa (e):
que coincide exatamente com o que calculámos. Portanto a alternativa (e) é verdadeira.
Resumo das decisões dos itens
- (a) verdadeira (o gradiente em
é colinear a ). - (b) falsa (o vetor dado é exatamente o normal).
- (c) falsa (falta o termo
). - (d) falsa em geral (só ocorreria se
, não garantido). - (e) verdadeira (as duas expressões coincidem).
Resposta
a
e