Questão 15

Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Nesta questão, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma função duas vezes diferenciável com f^{\prime \prime}(x) \neq 0, h(x, y)=5 x^{2}+5 y^{2} e u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é dada pela função composta u=f \circ h.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
\square a. O gradiente de u(x, y), calculado no ponto ( 1,1 ), é colinear ao vetor 10 \vec{i}+10 \vec{j}
\square b. O vetor \left(-10 f^{\prime}(10),-10 f^{\prime}(10), 1\right) não é normal ao plano tangente ao gráfico de u pelo ponto de coordenadas (1,1, u(1,1))
\square c. u_{x x}+u_{y y}=4\left(25 x^{2}+25 y^{2}\right) \cdot\left(f^{\prime \prime} \circ h\right), para todo x, y \in \mathbb{R}
\square d. O gradiente de u(x, y), calculado no ponto (1,1), é colinear ao vetor 10 \vec{i}+5 \vec{j}
\square e. \quad u_{x x} / 10-u_{y y} / 10=2\left(5 x^{2}-5 y^{2}\right) \cdot\left(f^{\prime \prime} \circ h\right), para todo x, y \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que marquemos as alternativas corretas:
  • Temos f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas vezes diferenciável com f''(x)\neq 0 (para todo x).
  • Definida h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} por h(x,y)=5x^{2}+5y^{2}.
  • Definida u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} por u=f\circ h, isto é, u(x,y)=f\big(h(x,y)\big)=f\big(5x^{2}+5y^{2}\big).
  • Ponto específico mencionado: (1,1). Note que, a partir da definição de h, temos h(1,1)=5\cdot1^{2}+5\cdot1^{2}=10.
    As alternativas a analisar são (a) a (e) listadas no enunciado.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de u. Primeiro, expliquei a regra que vamos usar:
  • Regra (cadeia para funções compostas): se u(x,y)=f\big(h(x,y)\big) com f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} diferenciável e h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} diferenciável, então as derivadas parciais são
u_x = f'\big(h(x,y)\big)\cdot h_x(x,y),\qquad u_y = f'\big(h(x,y)\big)\cdot h_y(x,y).
Aqui f' é a derivada de f (função de uma variável) e h_x,h_y são as derivadas parciais de h.
Agora calcule h_x e h_y:
h_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(5x^{2}+5y^{2}\big)=10x, \qquad h_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(5x^{2}+5y^{2}\big)=10y.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia e os valores de h_x,h_y, obtemos as derivadas parciais de u:
u_x(x,y)=f'\big(h(x,y)\big)\cdot 10x, \qquad u_y(x,y)=f'\big(h(x,y)\big)\cdot 10y.
O gradiente de u é \nabla u(x,y) = \big(u_x(x,y),\,u_y(x,y)\big).

Passo 4

Avalie o gradiente no ponto (1,1). Como h(1,1)=10,
u_x(1,1)=10\cdot 1\cdot f'(10)=10 f'(10), \qquad u_y(1,1)=10\cdot 1\cdot f'(10)=10 f'(10).
Logo
\nabla u(1,1)=\big(10 f'(10),\,10 f'(10)\big).
Isto mostra que \nabla u(1,1) é um múltiplo escalar do vetor (10,10), ou seja, é colinear ao vetor 10\vec{i}+10\vec{j}. Conclusão: a alternativa (a) é verdadeira.

Passo 5

Checagem da alternativa (d): ela afirma que \nabla u(1,1) é colinear ao vetor 10\vec{i}+5\vec{j}. Para ser colinear precisamos que exista \lambda tal que
(10 f'(10),\,10 f'(10))=\lambda (10,5).
Isto implica duas equações: 10 f'(10)=10\lambda e 10 f'(10)=5\lambda. Dividindo a primeira por 10 e a segunda por 5 \lambda=f'(10) e \lambda=2 f'(10). Estas duas condições só são compatíveis se f'(10)=0. Como f''\neq 0 não impede que f'(10)=0 em um ponto isolado, mas a alternativa (d) é escrita como uma verdade geral (para todo f com f''\neq0), e não é verdadeira em geral (apenas em um caso especial f'(10)=0). Portanto (d) é falsa.

Passo 6

Agora vamos encontrar a normal ao plano tangente ao gráfico de u no ponto (1,1,u(1,1)), para verificar (b). Lembrete/receita:
  • Se temos a superfície dada pelo gráfico z=u(x,y), um vetor normal padrão é (-u_x,-u_y,1) (é fácil verificar aplicando produto escalar com vetores tangentes (1,0,u_x) e (0,1,u_y)).
    Já calculamos u_x(1,1)=10 f'(10) e u_y(1,1)=10 f'(10). Portanto um vetor normal é
\big(-u_x(1,1),\,-u_y(1,1),\,1\big)=\big(-10 f'(10),\,-10 f'(10),\,1\big).
A alternativa (b) afirma que esse vetor “não é normal” — mas acabamos de obter exatamente esse vetor como normal. Logo (b) é falsa.

Passo 7

Calcule agora as derivadas segundas necessárias para analisar (c) e (e). Tomando
u_x(x,y)=10x\,f'\big(h(x,y)\big),
usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar em x:
u_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(10x\,f'(h)\big) =10\,f'(h)+10x\cdot\big(f''(h)\cdot h_x\big).
Substituindo h_x=10x obtemos
u_{xx}(x,y)=10\,f'(h(x,y))+10x\cdot f''(h(x,y))\cdot 10x =10\,f'(h)+100 x^{2}\,f''(h).
De modo análogo (simetria entre x e y) temos
u_{yy}(x,y)=10\,f'(h)+100 y^{2}\,f''(h).

Passo 8

Some as duas segundas derivadas:
u_{xx}+u_{yy}= \big(10f'(h)+100 x^{2}f''(h)\big)+\big(10f'(h)+100 y^{2}f''(h)\big) =20 f'(h) + 100(x^{2}+y^{2}) f''(h).
Compare com a alternativa (c), que afirma
u_{xx}+u_{yy}=4\big(25 x^{2}+25 y^{2}\big)\cdot\big(f''\circ h\big).
Note que 4(25x^{2}+25y^{2})=100(x^{2}+y^{2}), ou seja, o segundo termo coincide com a parte 100(x^{2}+y^{2})f''(h) que encontramos, mas a nossa expressão tem um termo adicional 20 f'(h) que a alternativa (c) não contém. Portanto (c) é falsa em geral (só seria verdadeira se f'(h)\equiv 0, o que não é garantido).

Passo 9

Agora calcule a diferença pedida em (e). Usando os resultados do Passo 7,
u_{xx}-u_{yy}=\big(10f'(h)+100 x^{2}f''(h)\big)-\big(10f'(h)+100 y^{2}f''(h)\big) =100(x^{2}-y^{2})f''(h).
Dividindo por 10 obtemos
\frac{u_{xx}}{10}-\frac{u_{yy}}{10}=10(x^{2}-y^{2})f''(h).
Agora manipule o lado direito da alternativa (e):
2\big(5x^{2}-5y^{2}\big)\cdot\big(f''\circ h\big)=2\cdot 5 (x^{2}-y^{2}) f''(h)=10(x^{2}-y^{2}) f''(h),
que coincide exatamente com o que calculámos. Portanto a alternativa (e) é verdadeira.

Resumo das decisões dos itens

  • (a) verdadeira (o gradiente em (1,1) é colinear a 10\vec{i}+10\vec{j}).
  • (b) falsa (o vetor dado é exatamente o normal).
  • (c) falsa (falta o termo 20 f'(h)).
  • (d) falsa em geral (só ocorreria se f'(10)=0, não garantido).
  • (e) verdadeira (as duas expressões coincidem).

Resposta

a
e

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