Questão 17
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Nesta questão,
denota a função exponencial
. Seja
uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a
é
.
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de
com respeito a
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Vale 1,00 ponto(s).
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o seguinte.
- Dado que a primeira derivada parcial de
em relação a é
- A função
é contínua (e as expressões dadas são suficientemente regulares para que as derivadas parciais envolvidas existam). - Pergunta: qual, entre as opções (a)–(f), pode ser a única função que seja a primeira derivada parcial de
em relação a , isto é, qual pode ser
Informações relevantes extraídas do enunciado: a expressão explícita de
e que as opções disponíveis são as seis funções dadas (a) a (f). A resolução começará a partir daqui.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicado passo a passo):
- Se uma função
tem derivadas parciais suficientes e regulares, as derivadas parciais mistas satisfazem
Isto significa: a derivada parcial em
de
deve ser igual à derivada parcial em
de
. No problema prático: calculamos
e exigimos que seja igual a
.
- Também vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto simples. Lembrete sobre uma derivada que aparece aqui: se
, então
porque
e depois multiplicamos por
.
Passo 3
Calculemos
de forma detalhada.
Defina
Temos
.
- Derivando
em relação a dá (porque não depende de ). - Derivando
em relação a , aplicamos a regra da cadeia:
Calcule
:
Portanto
Em forma limpa:
Observação didática: esse resultado não depende de
; é uma função puramente de
.
Passo 4
Use a igualdade das mistas para obter a forma exigida de
.
Pela igualdade das derivadas mistas, para qualquer candidato
devemos ter
Para obter
sabemos integrar em relação a
(tratar
como constante nesse processo). Integrando o lado direito em relação a
obtemos:
Como a integranda não depende de
, a integral é simplesmente essa expressão multiplicada por
, mais uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
):
onde
é alguma função de
(qualquer função de
é permitida, pois sua derivada parcial em
é zero).
Didática curta: isso mostra que a parte que depende de
deve ser exatamente
; podemos ainda somar qualquer termo que seja função somente de
.
Passo 5
Agora compare a forma geral encontrada com cada uma das opções dadas, checando se são da forma
- (a) tem fator
. Tem em vez de . Logo produziria termo proporcional a , diferente do que precisamos. Rejeitar. - (b) é
Embora o segundo termo seja função só de
(portanto poderia ser o
), o problema é que o argumento trigonométrico é
, que é diferente de
. Não há nenhuma razão para que
seja igual para todo
à
. Portanto (b) é incompatível. Rejeitar.
- (c) tem a mesma falha de argumento trigonométrico (usa
em vez de ), embora a forma em seja . Ainda assim o argumento está errado, então rejeitar. - (d) é exatamente
ou seja, corresponde ao caso
da forma geral acima. Está perfeitamente compatível.
- (e) tem
e argumento errado — rejeitar. - (f) tem
com argumento correto no trigonométrico, mas por ter em vez de a derivada em dependeria de , o que não bate com o cálculo do Passo 3. Além disso tem um termo exponencial adicional em , mas o erro principal é o . Rejeitar.
Conclusão: entre todas as opções, apenas a opção (d) é compatível com a condição das derivadas mistas e, portanto, é a única que pode ser
.
Resposta
d.