Questão 17

Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Nesta questão, \exp (x) denota a função exponencial e^{x}. Seja F(x, y) uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a x é 2 x^{2}+\operatorname{sen}^{2}\left(2 y^{2}-2 y+1\right).
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de F com respeito a y ?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 2 x^{2}(4 y-2) \operatorname{sen}\left(2 y^{2}-2 y+4\right) \cos \left(2 y^{2}-2 y+4\right)
\bigcirc b. 2 x(4 y-2) \operatorname{sen}\left(2 y^{2}-2 y+4\right) \cos \left(2 y^{2}-2 y+4\right)+\exp \left(y^{2}+2\right) \exp \left(2 y^{2}+4\right)
\bigcirc c. 2 x(4 y-2) \operatorname{sen}\left(2 y^{2}-2 y+3\right) \cos \left(2 y^{2}-2 y+3\right)+\exp \left(y^{2}+2\right) \exp \left(2 y^{2}+4\right)
\bigcirc d. 2 x(4 y-2) \operatorname{sen}\left(2 y^{2}-2 y+1\right) \cos \left(2 y^{2}-2 y+1\right)
\bigcirc e. 2 x^{2}(4 y-2) \operatorname{sen}\left(2 y^{2}-2 y+3\right) \cos \left(2 y^{2}-2 y+3\right)+\exp \left(3 y^{2}-y-2\right)
\bigcirc f. 2 x^{2}(4 y-2) \operatorname{sen}\left(2 y^{2}-2 y+1\right) \cos \left(2 y^{2}-2 y+1\right)+\exp \left(3 y^{2}-y-2\right)

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o seguinte.
  • Dado que a primeira derivada parcial de F em relação a x é
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=2x^{2}+\operatorname{sen}^{2}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr).
  • A função F é contínua (e as expressões dadas são suficientemente regulares para que as derivadas parciais envolvidas existam).
  • Pergunta: qual, entre as opções (a)–(f), pode ser a única função que seja a primeira derivada parcial de F em relação a y, isto é, qual pode ser
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)?
Informações relevantes extraídas do enunciado: a expressão explícita de \frac{\partial F}{\partial x} e que as opções disponíveis são as seis funções dadas (a) a (f). A resolução começará a partir daqui.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Se uma função F(x,y) tem derivadas parciais suficientes e regulares, as derivadas parciais mistas satisfazem
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right).
Isto significa: a derivada parcial em y de \frac{\partial F}{\partial x} deve ser igual à derivada parcial em x de \frac{\partial F}{\partial y}. No problema prático: calculamos \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\frac{\partial F}{\partial x}\bigr) e exigimos que seja igual a \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\text{candidato a }\frac{\partial F}{\partial y}\bigr).
  • Também vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto simples. Lembrete sobre uma derivada que aparece aqui: se u(y)=2y^{2}-2y+1, então
\frac{d}{dy}\bigl(\operatorname{sen}^{2}(u(y))\bigr)=2\operatorname{sen}(u(y))\cdot\operatorname{cos}(u(y))\cdot u'(y),
porque \frac{d}{du}(\sin^{2}u)=2\sin u\cos u e depois multiplicamos por u'(y).

Passo 3

Calculemos \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial F}{\partial x}\right) de forma detalhada.
Defina
u(y)=2y^{2}-2y+1.
Temos \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)=2x^{2}+\operatorname{sen}^{2}\bigl(u(y)\bigr).
  • Derivando 2x^{2} em relação a y 0 (porque não depende de y).
  • Derivando \operatorname{sen}^{2}\bigl(u(y)\bigr) em relação a y, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dy}\bigl(\operatorname{sen}^{2}(u(y))\bigr)=2\operatorname{sen}(u(y))\operatorname{cos}(u(y))\cdot u'(y).
Calcule u'(y):
u'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr)=4y-2.
Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)(x,y)=2\operatorname{sen}\bigl(u(y)\bigr)\operatorname{cos}\bigl(u(y)\bigr)\cdot(4y-2).
Em forma limpa:
\boxed{\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)(x,y)=2(4y-2)\operatorname{sen}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr)\operatorname{cos}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr).}
Observação didática: esse resultado não depende de x; é uma função puramente de y.

Passo 4

Use a igualdade das mistas para obter a forma exigida de \dfrac{\partial F}{\partial y}.
Pela igualdade das derivadas mistas, para qualquer candidato \dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y) devemos ter
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)(x,y)=2(4y-2)\operatorname{sen}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr)\operatorname{cos}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr).
Para obter \dfrac{\partial F}{\partial y} sabemos integrar em relação a x (tratar y como constante nesse processo). Integrando o lado direito em relação a x obtemos:
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=\int 2(4y-2)\operatorname{sen}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr)\operatorname{cos}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr)\,dx.
Como a integranda não depende de x, a integral é simplesmente essa expressão multiplicada por x, mais uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x):
\boxed{\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=2x(4y-2)\operatorname{sen}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr)\operatorname{cos}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr)+g(y),}
onde g(y) é alguma função de y (qualquer função de y é permitida, pois sua derivada parcial em x é zero).
Didática curta: isso mostra que a parte que depende de x deve ser exatamente 2x(4y-2)\sin(u)\cos(u); podemos ainda somar qualquer termo que seja função somente de y.

Passo 5

Agora compare a forma geral encontrada com cada uma das opções dadas, checando se são da forma
2x(4y-2)\operatorname{sen}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr)\operatorname{cos}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr)+g(y).
  • (a) tem fator 2x^{2}(4y-2)\cdots. Tem x^{2} em vez de x. Logo \partial/\partial x produziria termo proporcional a x, diferente do que precisamos. Rejeitar.
  • (b) é
2x(4y-2)\operatorname{sen}\bigl(2y^{2}-2y+4\bigr)\operatorname{cos}\bigl(2y^{2}-2y+4\bigr)+\exp(y^{2}+2)\exp(2y^{2}+4).
Embora o segundo termo seja função só de y (portanto poderia ser o g(y)), o problema é que o argumento trigonométrico é 2y^{2}-2y+4, que é diferente de 2y^{2}-2y+1. Não há nenhuma razão para que \operatorname{sen}(2y^{2}-2y+4)\operatorname{cos}(2y^{2}-2y+4) seja igual para todo y à \operatorname{sen}(2y^{2}-2y+1)\operatorname{cos}(2y^{2}-2y+1). Portanto (b) é incompatível. Rejeitar.
  • (c) tem a mesma falha de argumento trigonométrico (usa +3 em vez de +1), embora a forma em x seja 2x(4y-2)\cdots. Ainda assim o argumento está errado, então rejeitar.
  • (d) é exatamente
2x(4y-2)\operatorname{sen}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr)\operatorname{cos}\bigl(2y^{2}-2y+1\bigr),
ou seja, corresponde ao caso g(y)=0 da forma geral acima. Está perfeitamente compatível.
  • (e) tem 2x^{2}(\cdots) e argumento errado (+3) — rejeitar.
  • (f) tem 2x^{2}(\cdots) com argumento correto no trigonométrico, mas por ter x^{2} em vez de x a derivada em x dependeria de x, o que não bate com o cálculo do Passo 3. Além disso tem um termo exponencial adicional em y, mas o erro principal é o x^{2}. Rejeitar.
Conclusão: entre todas as opções, apenas a opção (d) é compatível com a condição das derivadas mistas e, portanto, é a única que pode ser \dfrac{\partial F}{\partial y}.

Resposta

d.

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