Questão 2 (15 pontos): Sejam f e g as funções reais definidas por
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-x^{2} & \text { se } x<3 \\\ x+1 & \text { se } x \geq 3 \end{array} \quad \text { e } \quad g(x)=\left|x^{2}-4\right|-|x-2|\right.
(7 pontos) Calcule, se possível, \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{f(x)-f(3)}{x-3}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 1-x^{2}, & \text{se } x<3,\\[4pt] x+1, & \text{se } x\ge 3, \end{cases}
e pede para calcular, se possível, o limite lateral à esquerda
\lim_{x\to 3^{-}}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}.
Informações relevantes:
  • Para valores x<3 usaremos f(x)=1-x^{2} (peguei isso do enunciado).
  • Para avaliar f(3) usamos a definição em x\ge 3, ou seja f(3)=3+1.
  • O que se pede é o limite quando x se aproxima de 3 pela esquerda (valores menores que 3) da expressão \dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}.]

Passo 2

Calcular f(3) usando a definição para x\ge 3:
f(3)=3+1=4.
Explicação breve: em uma função por partes, o valor em um ponto é dado pela parte cujo domínio contém esse ponto; como 3\ge 3, usamos a segunda expressão.

Passo 3

Como o limite é pela esquerda ( x\to3^{-}), para x próximos de 3 e menores que 3 podemos substituir f(x)=1-x^{2}. Assim a expressão do quociente fica
\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\frac{1-x^{2}-4}{x-3}=\frac{-x^{2}-3}{x-3}.
Aqui apenas substituí f(x) e f(3) e simplifiquei o numerador.

Passo 4

Analisar o comportamento do numerador e do denominador quando x\to3^{-}.
  • O numerador tende a
\lim_{x\to3^{-}}(-x^{2}-3) = -(3^{2})-3 = -9-3 = -12.
Ou seja, o numerador tende para a constante -12 (não se anula).
  • O denominador tende a
\lim_{x\to3^{-}}(x-3)=0^{-},
isto é, tende a zero vindo de valores negativos (porque para x<3 temos x-3<0).

Passo 5

Conclusão sobre o quociente: quando o numerador tende para uma constante não nula ( -12) e o denominador tende para 0 vindo de sinais conhecidos (aqui 0^{-}), o quociente diverge em módulo. O sinal do quociente é dado pelo sinal do numerador dividido pelo sinal do denominador próximo do ponto:
  • Numerador próximo de -12 é negativo.
  • Denominador próximo de 0 pela esquerda é negativo.
    Negativo dividido por negativo é positivo, e como o denominador tende a zero em módulo, o quociente cresce sem limite positivo. Um modo intuitivo de ver: para x=3-0{,}001,
\frac{-x^{2}-3}{x-3}\approx\frac{-12}{-0{,}001}=+12000,
e à medida que x se aproxima mais de 3 pela esquerda esse valor aumenta sem limite. Portanto
\lim_{x\to3^{-}}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=+\infty.
Observação didática: esse limite é a derivada à esquerda de f em 3 se fosse finito; aqui é infinito, logo f não é diferenciável pela esquerda em 3 no sentido clássico (a derivada lateral não existe como número real).

Resposta

\displaystyle +\infty

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