e pede para calcular, se possível, o limite lateral à esquerda
\lim_{x\to 3^{-}}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}.
Informações relevantes:
Para valores x<3 usaremos f(x)=1-x^{2} (peguei isso do enunciado).
Para avaliar f(3) usamos a definição em x\ge 3, ou seja f(3)=3+1.
O que se pede é o limite quando x se aproxima de 3 pela esquerda (valores menores que 3) da expressão \dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}.]
Passo 2
Calcular f(3) usando a definição para x\ge 3:
f(3)=3+1=4.
Explicação breve: em uma função por partes, o valor em um ponto é dado pela parte cujo domínio contém esse ponto; como 3\ge 3, usamos a segunda expressão.
Passo 3
Como o limite é pela esquerda (x\to3^{-}), para x próximos de 3 e menores que 3 podemos substituir f(x)=1-x^{2}. Assim a expressão do quociente fica
Ou seja, o numerador tende para a constante -12 (não se anula).
O denominador tende a
\lim_{x\to3^{-}}(x-3)=0^{-},
isto é, tende a zero vindo de valores negativos (porque para x<3 temos x-3<0).
Passo 5
Conclusão sobre o quociente: quando o numerador tende para uma constante não nula (-12) e o denominador tende para 0 vindo de sinais conhecidos (aqui 0^{-}), o quociente diverge em módulo. O sinal do quociente é dado pelo sinal do numerador dividido pelo sinal do denominador próximo do ponto:
Numerador próximo de -12 é negativo.
Denominador próximo de 0 pela esquerda é negativo.
Negativo dividido por negativo é positivo, e como o denominador tende a zero em módulo, o quociente cresce sem limite positivo. Um modo intuitivo de ver: para x=3-0{,}001,
e à medida que x se aproxima mais de 3 pela esquerda esse valor aumenta sem limite. Portanto
\lim_{x\to3^{-}}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=+\infty.
Observação didática: esse limite é a derivada à esquerda de f em 3 se fosse finito; aqui é infinito, logo f não é diferenciável pela esquerda em 3 no sentido clássico (a derivada lateral não existe como número real).