Questão 1 (20 pontos): Seja f\) a função definida por \[f(x)= \begin{cases}\frac{a}{x} \operatorname{sen} 3 x & \text { se } x<0 \\\\ 3 a x-6 b & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ 2 x+10 & \text { se } x \geq 1\end{cases}
Determine condições sobre a\] e \(b de modo que f seja contínua em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\dfrac{a}{x}\,\sin(3x) & \text{se } x<0,\\[6pt] 3a x-6b & \text{se } 0\le x<1,\\[6pt] 2x+10 & \text{se } x\ge 1, \end{cases}
e pede: determinar condições sobre a e b para que f seja contínua em \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é dada por três expressões, com quebras em x=0 e x=1.
  • Para que f seja contínua em \mathbb{R} precisamos que ela seja contínua em todos os pontos; como cada ramo é contínuo no interior do seu intervalo, só é necessário verificar continuidade nas fronteiras x=0 e x=1.]

Passo 2

Lembrete didático sobre continuidade (passo-a-passo): uma função f é contínua em um ponto c se, e somente se,
\lim_{x\to c} f(x)=f\text{(c)}.
Se há uma mudança de definição em c (como aqui), devemos comparar o limite à esquerda \lim_{x\to c^-} f(x) com o valor à direita \lim_{x\to c^+} f(x) e com f\text{(c)}. Para pontos de quebra devemos garantir igualdade entre esses valores.
No nosso caso, verificar continuidade em x=0 significa igualar o limite à esquerda com o valor no ramo que inclui 0; verificar em x=1 significa igualar o limite à esquerda (ramo do meio) com o valor no ramo de x\ge1.

Passo 3

Continuidade em x=0. Primeiro calcule a limite pela esquerda usando o ramo \dfrac{a}{x}\sin(3x) quando x\to 0^-. Reescrevendo:
\frac{a}{x}\sin(3x)=a\cdot\frac{\sin(3x)}{x}.
Usamos a identidade padrão de limites \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1. Fazendo a substituição u=3x (então u\to0 quando x\to0) obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x}=\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u/3}=3\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=3.
Portanto
\lim_{x\to0^-} f(x)=a\cdot 3=3a.
O valor de f no ponto 0 (pelo ramo 0\le x<1) é
f(0)=3a\cdot 0-6b=-6b.
Para continuidade em 0 exigimos \lim_{x\to0^-} f(x)=f(0), ou seja
3a=-6b.
Isolando b obtemos a relação
b=-\dfrac{a}{2}.

Passo 4

Continuidade em x=1. O limite pela esquerda (usando o ramo 0\le x<1) quando x\to1^- é
\lim_{x\to1^-} f(x)=3a\cdot 1-6b=3a-6b.
O valor pelo ramo da direita em x=1 é
f(1)=2\cdot 1 + 10 = 12.
Para continuidade em 1 exigimos
3a-6b=12.
Agora substituímos a relação obtida no Passo 3, b=-\dfrac{a}{2}, na equação acima:
3a-6\Big(-\dfrac{a}{2}\Big)=3a+3a=6a.
Logo
6a=12\quad\Rightarrow\quad a=2.
Com a=2 usamos b=-\dfrac{a}{2} para obter
b=-\dfrac{2}{2}=-1.

Passo 5

Verificação final rápida (confirmação didática):
  • Em x=0: \lim_{x\to0^-}f(x)=3a=3\cdot2=6 e f(0)=-6b=-6(-1)=6. OK.
  • Em x=1: \lim_{x\to1^-}f(x)=3a-6b=3\cdot2-6(-1)=6+6=12 e f(1)=12. OK.
Como as condições são satisfeitas em ambas as fronteiras, com esses valores f é contínua em \mathbb{R}.

Resposta

a=2
b=-1

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