Questão 1 (20 pontos): Seja f\) a função definida por
\[f(x)= \begin{cases}\frac{a}{x} \operatorname{sen} 3 x & \text { se } x<0 \\\\ 3 a x-6 b & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ 2 x+10 & \text { se } x \geq 1\end{cases}
Determine condições sobre a\] e \(b de modo que f seja contínua em \mathbb{R}.
e pede: determinar condições sobre a e b para que f seja contínua em \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A função é dada por três expressões, com quebras em x=0 e x=1.
Para que f seja contínua em \mathbb{R} precisamos que ela seja contínua em todos os pontos; como cada ramo é contínuo no interior do seu intervalo, só é necessário verificar continuidade nas fronteiras x=0 e x=1.]
Passo 2
Lembrete didático sobre continuidade (passo-a-passo): uma função f é contínua em um ponto c se, e somente se,
\lim_{x\to c} f(x)=f\text{(c)}.
Se há uma mudança de definição em c (como aqui), devemos comparar o limite à esquerda \lim_{x\to c^-} f(x) com o valor à direita \lim_{x\to c^+} f(x) e com f\text{(c)}. Para pontos de quebra devemos garantir igualdade entre esses valores.
No nosso caso, verificar continuidade em x=0 significa igualar o limite à esquerda com o valor no ramo que inclui 0; verificar em x=1 significa igualar o limite à esquerda (ramo do meio) com o valor no ramo de x\ge1.
Passo 3
Continuidade em x=0. Primeiro calcule a limite pela esquerda usando o ramo \dfrac{a}{x}\sin(3x) quando x\to 0^-. Reescrevendo:
\frac{a}{x}\sin(3x)=a\cdot\frac{\sin(3x)}{x}.
Usamos a identidade padrão de limites \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1. Fazendo a substituição u=3x (então u\to0 quando x\to0) obtemos