Questão 15.0 - A seguinte tabela fornece os valores de pressão e temperatura das camadas superiores da atmosfera em função da altitude:
Altitude/ km
P/ mbar
T/ K
20,0
56
220
40,0
3,2
260
60,0
0,28
260
80,0
0,013
180
Por simplicidade considere que o ar é composto apenas de nitrogênio, calcule o livre caminho médio para cada uma das camadas e justifique. O livre caminho médio
é entendido como a distância que a partícula percorre entre colisões e a fórmula que a descreve é:
Considere (seção de choque da colisão)
| Altitude/ km | P/ mbar | T/ K |
| 20,0 | 56 | 220 |
| 40,0 | 3,2 | 260 |
| 60,0 | 0,28 | 260 |
| 80,0 | 0,013 | 180 |
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o livre caminho médio para cada uma das camadas da tabela. Dados fornecidos (copiados da tabela):\n
Altitude :
,
.\n
Altitude :
,
.\n
Altitude :
,
.\n
Altitude :
,
.\n
Seção de choque dada: .\n
Fórmula a usar (fornecida no enunciado):\n
Altitude
Altitude
Altitude
Altitude
Seção de choque dada:
Fórmula a usar (fornecida no enunciado):\n
A tarefa é calcular
para cada linha da tabela e justificar (usar os dados acima, fazer conversões necessárias).
Passo 2
Entendendo a fórmula e o que cada símbolo significa (mini-aula bem prática):\n
-
é o livre caminho médio (distância média entre colisões) que queremos.\n -
é a constante universal dos gases, .\n -
é a temperatura absoluta em kelvin (dada na tabela).\n -
é o número de Avogadro, .\n -
é a seção de choque (área efetiva de colisão) dada no enunciado.\n -
é a pressão absoluta em pascal; atenção: na tabela está em , então preciso converter para (1 mbar ).\n
Breve derivação (para fixar a intuição): o livre caminho médio também se escreve como\n
onde
é a densidade numérica (número de moléculas por volume). Pela equação dos gases perfeitos
, com
a constante de Boltzmann; usando
obtemos exatamente a fórmula do enunciado. Ou seja: menos pressão
menor
maior
.
Passo 3
Conversão das pressões da tabela de
para
(multiplicar por
):\n
\n
\n
\n
Passo 4
Vou calcular um fator comum do denominador para simplificar os cálculos:\n
Calcule :\n
Calcule
Agora multiplico por
:\n
Esse valor é o coeficiente que será multiplicado por
(em pascal) no denominador:
Passo 5
Cálculo para altitude
:\n
-
. Numerador:\n
- Denominador:
\n - Logo\n
Interpretação rápida: isso é cerca de
(micrômetro).
Passo 6
Cálculo para altitude
:\n
-
. Numerador:\n
- Denominador:
\n - Logo\n
Interpretação: cerca de
.
Passo 7
Cálculo para altitude
:\n
-
(mesmo numerador que no passo anterior): \n - Denominador:
\n - Logo\n
Interpretação: cerca de
(ou
).
Passo 8
Cálculo para altitude
:\n
-
. Numerador:\n
- Denominador:
\n - Logo\n
Interpretação: cerca de
.
Passo 9
Justificativa e observações finais (curtas, pra você levar pra prova):\n
- O livre caminho médio cresce fortemente com a altitude porque a pressão cai muito (menos moléculas por volume
menos colisões).\n - Usei a aproximação do ar composto só por nitrogênio e seção de choque constante; na prática a seção de choque pode depender de temperatura e da mistura de gases, mas para exercício isso é aceitável.\n
- As contas foram feitas sem calculadora simbólica, mostrando como organizar numeradores e denominadores; na prova, calcule passo a passo como fiz (converter pressão, calcular
, calcular a constante do denominador e dividir).
Resposta
20{,}0 km:
\n
40{,}0 km: \n
60{,}0 km: \n
80{,}0 km:
40{,}0 km:
60{,}0 km:
80{,}0 km: