Questão 16. Um anel A é dito booleano quando a^{2}=a para todo a \in A.
(a) Mostre que a característica de A é 2 .
(b) Mostre que a b+b a=0 para todo a, b \in A.
(c) Mostre que A é anel comutativo.

Passo 1

O enunciado define um anel A como booleano quando
\forall a\in A:\quad a^2 = a.
Precisamos mostrar:
(a) a característica de A é 2;
(b) para todo a,b\in A, vale ab + ba = 0;
(c) a partir disso, concluir que A é comutativo.
Vamos usar a expansão binomial em (a+a)^2 e em (a+b)^2, explorando a idempotência a^2=a.

Passo 2

Para (a), pegue um elemento arbitrário a\in A. Pela idempotência,
(a+a)^2 = a + a.
Por outro lado, expandindo pelo binômio de Newton e usando distributividade,
(a+a)^2 = a^2 + aa + aa + a^2 = a + a + a + a = 4a.
Logo,
4a = 2a.
Subtraindo 2a de ambos os lados em A obtemos
2a = 0,
para todo a. Isso significa que o número 2 vezes qualquer elemento é zero, logo a característica de A divide 2 e, em um anel não trivial com unidade, deve ser exatamente 2.

Passo 3

Para (b), tome a,b\in A. Novamente a idempotência garante
(a+b)^2 = a+b.
Expansão e uso de a^2=a, b^2=b dão
(a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2 = a + ab + ba + b.
Comparando com a+b e subtraindo a+b de ambos os lados resulta
ab + ba = 0.

Passo 4

Como ab + ba = 0, concluímos
ab = -\,ba.
Mas em característica 2 temos -\,ba = ba. Portanto
ab = ba,
isto é, A é comutativo.

Resposta

(a) \mathrm{char}(A)=2.
(b) ab + ba = 0 para todos a,b\in A.
(c) Logo A é comutativo.

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