Questão 19. Seja A um anel com mais de um elemento tal que para cada a \in A^{*} exista um único b \in A tal que a b a=a. Mostre que
(a) A não possui divisores de zero
(b) b a b=b
(c) A possui identidade

Passo 1

O enunciado considera um anel A (comutativo ou não) que não é o anel trivial e tal que, para cada elemento não nulo a\in A^*, existe um único b\in A satisfazendo
a\,b\,a = a.
O conteúdo aqui é teoria de anéis regulares (von Neumann) e uso de cancelamento em anéis sem divisores de zero. Vamos mostrar:
  1. não há divisores de zero em A;
  2. desse b satisfaz-se também b\,a\,b=b;
  3. existe elemento identidade em A.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que existam a,c\in A^* com
a\,c = 0.
Pela hipótese, como a\neq 0 há único b tal que a\,b\,a = a. Então
c \;=\; c\,(a\,b\,a)\;=\;(c\,a)\,b\,a \;=\;0\cdot b\,a \;=\;0,
o que contradiz c\neq 0. Logo, A não possui divisores de zero.

Passo 3

Já que a\,b\,a = a, considere o elemento b\,a\,b. Observe
a\,(b\,a\,b)\,a = (a\,b\,a)\,b\,a = a\,b\,a = a.
Assim, b\,a\,b também satisfaz a condição para o mesmo a. Pela unicidade de b, segue
b\,a\,b = b.

Passo 4

De a\,b\,a = a tiramos
(a\,b - 1)\,a = 0
e, como a\neq0 e não há divisores de zero, a\,b -1=0, isto é,
a\,b = 1.
De b\,a\,b = b vem
b\,(a\,b -1)=0
e, como b\neq0, também a\,b -1=0; mas disso já tínhamos, e ainda obtemos
b\,a = 1.
Logo cada não nulo a é invertível com inverso b.

Passo 5

Defina 1=a\,b. Mostramos que 1 não depende da escolha de a (pois para qualquer outro a'\neq0 teríamos igualmente a'\,b'=1) e é identidade: para todo x\in A,
1\cdot x = (a\,b)\,x = a\,(b\,x) = (a\,b)\,(x) = 1\cdot x = x
e
x\cdot1 = x\,(a\,b) = (x\,a)\,b = (b\,a)\,x = 1\cdot x = x,
portanto 1 é elemento neutro da multiplicação em A.

Resposta

(a) A não possui divisores de zero.
(b) O mesmo b satisfaz também b\,a\,b=b.
(c) O elemento 1=a\,b é identidade em A.

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