Questão 19. Seja
um anel com mais de um elemento tal que para cada
exista um único
tal que
. Mostre que
(a)
não possui divisores de zero
(b)
(c)
possui identidade
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado considera um anel
(comutativo ou não) que não é o anel trivial e tal que, para cada elemento não nulo
, existe um único
satisfazendo
O conteúdo aqui é teoria de anéis regulares (von Neumann) e uso de cancelamento em anéis sem divisores de zero. Vamos mostrar:
- não há divisores de zero em
; - desse
satisfaz-se também ; - existe elemento identidade em
.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que existam
com
Pela hipótese, como
há único
tal que
. Então
o que contradiz
. Logo,
não possui divisores de zero.
Passo 3
Já que
, considere o elemento
. Observe
Assim,
também satisfaz a condição para o mesmo
. Pela unicidade de
, segue
Passo 4
De
tiramos
e, como
e não há divisores de zero,
, isto é,
De
vem
e, como
, também
; mas disso já tínhamos, e ainda obtemos
Logo cada não nulo
é invertível com inverso
.
Passo 5
Defina
. Mostramos que
não depende da escolha de
(pois para qualquer outro
teríamos igualmente
) e é identidade: para todo
,
e
portanto
é elemento neutro da multiplicação em
.
Resposta
(a)
não possui divisores de zero.
(b) O mesmo satisfaz também
.
(c) O elemento é identidade em
.
(b) O mesmo
(c) O elemento